Bestem skæringspunkter mellem linjer, cirkler, kugler og planer

Du kan benytte denne guide, hvis du skal bestemme skæringspunktet/-punkterne mellem to geometriske objekter. Det kan være

  • to linjer (i planen eller i rummet)
  • to cirkler (i planen)
  • en linje og en cirkel (i planen)
  • en linje og en kugle (i rummet)
  • en linje og en plan (i rummet)

De to geometriske objekter, kan være defineret ved

  • to ligninger
  • to parameterfremstillinger
  • en ligning og en parameterfremstilling

Denne guide dækker alle tre tilfælde.

Herunder er 4 eksempler på opgaveformuleringer:

  • Skæringspunktet mellem planen α og linjen l kaldes S. Bestem koordinatsættet til S.
  • Bestem skæringspunktet mellem planen og linjen.
  • Bestem koordinatsættet til punktet A.
  • Bestem koordinatsættet til hvert af de to punkter, hvor linjen skærer kuglen.

Opgaver af denne type kan være formuleret på to forskellige måder: Enten bliver der eksplicit spurgt efter skæringspunktet mellem to objekter, eller også bliver der spurgt efter koordinatsættet til et punkt, der er defineret som skæringspunktet mellem to objekter.…

...

Metode

1. Identificér de to objekter og deres ligninger/parameterfremstillinger

I nogle opgaveformuleringer står der eksplicit, hvilke objekter du skal bestemme skæringspunkterne mellem. I andre opgaver stå…

...

Eksempel: Skæringspunkterne mellem en cirkel og en linje

En cirkel er givet ved ligningen

(x-3)^2+(y-2)^2=49

Linjen l, der er bestemt ved nedenstående ligning, skærer cirklen i to punkter.

l: 2y+5x-7=0

Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple (solve-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple (intersection-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire (solve-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire (løsningsskabelon)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

...

Eksempel: Skæringspunktet mellem en linje og en plan

På tegningen herunder ses en model af en museumsbygning. På en af etagerne er et stort sejl spændt ud i loftet. På figuren er sejlet markeret med rødt.

Sejlet er en del af planen α, der er givet ved ligningen

-2x+1,5y+10z-25=0

Det ene af punkterne, hvor sejlet er spændt fast, kaldes H. Punktet H ligger på linjen m, der går gennem punkterne A og E. Parameterfremstillingen for m kan ses herunder:

\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4\\ -2\\ 5 \end{pmatrix} \\

Bestem koordinatsættet til punktet H.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple (solve-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple (intersection-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire (solve-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire (løsningsskabelon)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

...

Eksempel: Skæringspunktet mellem to linjer

Linjerne l og m er givet ved parameterfremstillingerne herunder.

l: \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 7\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} \\

m: \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ -3\\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -5\\ 10\\ 2 \end{pmatrix} \\

Det oplyses, at punktet P er skæringspunkt mellem l og m. Bestem P’s koordinatsæt.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple (solve-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple (intersection-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire (solve-kommando)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire (løsningsskabelon)
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

 …

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind