Opgaver om geometriske figurers omkreds, areal, overfladeareal og volumen

Denne guide handler om, hvordan du løser fire typer af opgaver om geometriske figurers omkreds, areal, overfladeareal og volumen. Herunder kan du se de fire variationer, og hvad der kendetegner dem.

Variation A: Bestem omkreds, areal, overfladeareal eller volumen af en figur

Her kan du se tre eksempler på, hvordan en eksamensopgave kan være formuleret.

  • Bestem omkredsen af figuren, når x = 2 og h = 7.
  • Bestem skabets volumen og overfladeareal udtrykt ved længden l og bredden b.
  • Opstil et udtryk, der beskriver arealet af skulpturen udtrykt ved r og h.

Du kan genkende opgaver af denne type på, at der eksplicit bliver spurgt efter en figurs omkreds, areal, overfladeareal eller volumen. Løsningsmetoden finder du her.

Hvis der indgår flere ukendte størrelser i din opgave, og du skal bestemme figurens omkreds, areal, overfladeareal eller volumen udtrykt ved én variabel, så skal du anvende variation C.

Variation B: Bestem sammenhængen mellem en geometrisk figurs ukendte mål

Opgaven kan fx være formuleret som de to eksempler herunder:

  • Bestem s udtrykt ved r.
  • Bestem keglens radius r udtrykt ved keglestubbens højde h.

Opgaven er kendetegnet ved, at du eksplicit bliver bedt om at udtrykke den ene af de ukendte størrelser i opgaven ved en anden ukendt størrelse. Du kan finde en løsningsmetode her.

Variation C: Bestem en funktion, der beskriver en figurs omkreds, areal, overfladeareal eller volumen

Du får her to eksempler på, hvordan denne typeopgave kan være formuleret:

  • Bestem figurens omkreds som funktion af sidelængden s.
  • Vis, at legehusets volumen kan beskrives ved  V(b) = 0,75 \cdot b^2 + 13,5 \cdot b.

Du kan genkende opgaven på, at du skal bestemme figurens omkreds, areal, overfladeareal eller volumen som en funktion af én ukendt størrelse. Vi viser dig, hvordan du løser denne type af opgave her.

Hvis der ikke er noget krav om, at udtrykket kun skal afhænge af én af de ukendte størrelser, så skal du benytte variation A.

Variation D: Minimér/maksimér en figurs omkreds, areal, overfladeareal eller volumen

Vi viser dig her to eksempler på, hvordan opgaven kan være formuleret:

  • Bestem h, så tøndens volumen bliver så stort som muligt.
  • Bestem den værdi af s, der gør beholderen mindst mulig, når 0 < s < 10.

Du kan genkende opgaven på, at der eksplicit står i opgaveformuleringen, at du skal bestemme den værdi af en variabel, der gør figurens omkreds, areal, overfladeareal eller volumen så lille eller stort som muligt. Du finder en metode, du kan bruge til at løse opgaver af denne type her.

Eksempel hvor alle variationerne indgår

Figuren herunder er en cylinder med radius r og højde h sat sammen med en kegle med radius r og højden 3.

   

a) Bestem hele figurens volumen og overfladeareal udtrykt ved r og h.

Det oplyses, at volumen af en bestemt udgave af figuren er 71 cm3.

b) Bestem h udtrykt ved r.

c) Vis, at overfladearealet af figuren kan udtrykkes ved funktionen

O_{A}(r) = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot \sqrt{r^2+9} + \pi \cdot r^3 - 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 142}{r}

d) Bestem den værdi af r, der giver figuren det mindst mulige overfladeareal.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple™
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire™
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

 ...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind