Opgaver om kvadratisk programmering

Denne guide handler om, hvordan du kan maksimere funktioner på formen f(x,y) = ax2 + bx+ cy2 + dy + h, hvor a ≠ 0.

Hvis din funktion er på formen f(x,y) = ax + by, så er det en lineær funktion af to variable, og du skal i stedet benytte guiden til lineær programmering.

Opgaver af denne type handler typisk om en virksomhed, der sælger to varer. Virksomhedens produktion eller salg af de to varer er underlagt nogle begrænsninger, og opgaven går ud på at bestemme hvilken sammensætning af varer, der er mest optimal for virksomheden.

Vi viser dig i denne guide, hvordan du redegør for niveaukurvernes form, tegner begrænsningerne og niveaukurver ind i et koordinatsystem og optimerer virksomhedens salg af de to produkter. Herunder kan du se fire eksempler på, hvordan opgaver af denne type kan se ud.

• Redegør for, at niveaukurven N(225) er en ellipse, og tegn N(225) samt begrænsningerne i et koordinatsystem.
• Gør rede for, at niveaukurven N(6000) er en parabel.
• Bestem hvor mange enheder af produkt A, og hvor mange enheder af produkt B, virksomheden skal sælge, hvis det ugentlige dækningsbidrag skal være så stort som muligt.
• Bestem den mængde af varer, virksomheden skal afsætte, for at opnå et dækningsbidrag der er så stort som muligt.…

...

Metode

1. Identificér kriteriefunktionen, og afgør hvad x og y står for

Opgaven handler om optimering, og der vil eksplicit stå i opgaveformuleringen, hvad det er, du skal optimere. Det vil typisk være virksomhedens dækningsbidrag. Den funktion, der beskriver det, du skal optimere, kaldes kriteriefu…

...

Eksempel: Niveaukurverne er parabler

En virksomhed sælger to produkter: type I og type II.

Når der sælges x stk. type I og y stk. type II, så kan virksomhedens samlede dækningsbidrag (i kr. pr. uge) beskrives ved funktionen

DB(x,y) = -0,02x2 + 8x + 15y

Virksomhedens salg af produkterne er underlagt begrænsningerne

1,2x + 5y ≤ 282
x ≥ 0
y ≥ 0

Redegør for, at niveaukurven N(1000) er en parabel, og bestem det antal af hhv. type I og type II, som virksomheden skal sælge for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.

...

Eksempel: Niveaukurverne er ellipser

En virksomhed sælger to produkter, A og B. Virksomhedens samlede dækningsbidrag i kr. pr. uge kan bestemmes ved

f(x,y) = -0,1x2 + 30x - 0,2y2 + 60y

hvor x er antallet af solgte produkter af typen A, og y er antallet af solgte produkter af typen B.

Redegør for, at niveaukurven N(5000) er en ellipse, og bestem det størst mulige dækningsbidrag.

Bestem det størst mulige dækningsbidrag, hvis salget er underlagt begrænsningen x + 4y ≤ 210.

 …