Bestem en partikulær løsning til en differentialligning

Her får du en metode til at bestemme en partikulær løsning til en 1. ordens differentialligning. En partikulær løsning er en løsning, der opfylder en begyndelsesbetingelse (også kaldet startbetingelse). Betingelsen kan være formuleret på mange forskellige måder, men er givet i opgaven.

I guiden får du hjælp til at identificere begyndelsesbetingelsen og til at inddrage den i løsningen af differentialligningen, så du kan bestemme lige præcis dén løsning, som opfylder betingelsen.…

...

Metode

1. Identificér de variable, differentialligningen og en eventuel konstant

Der indgår to variable i den opgave, du skal løse. Den ene kaldes typisk t (eller evt. x). Den anden variabel kan fx hedde N, y, V eller p, men navngivningen varierer meget fra opgave til opgave. I opgaveteksten kan du læse, hvad de variable er kaldt i den opgave, du sidder med, samt hvad de beskriver. Herunder er to eksempler. I det første er y og t de variable. I d…

...

Eksempel: Bestem en partikulær løsning (løsning med begyndelsesbetingelse)

Funktionen f(x) bruges til at beskrive højden af en spire (målt i cm). x betegner tiden, siden frøet blev sået, målt i dage. f(x) antages at opfylde nedenstående differentialligning:

f' = 0,1 · f · (10 - f)

Det oplyses, at 8 dage efter at frøet blev sået, så var spiren 2 cm høj. Bestem forskriften for f(x).

...

Eksempel: Bestem en partikulær løsning, der opfylder to betingelser

En matematisk model beskriver udviklingen i antallet af fugle på en ø. Antallet af fugle, til en given tid t, betegnes y, og y antages at opfylde nedenstående differentialligning. t måles i år efter 2010.

y'(t) = k · y(t) · (200 - y(t))

Bestem en forskrift for y(t), når det oplyses, at der i 2010 blev talt 33 fugle på øen, mens antallet af fugle var oppe på 127 i 2014.

 …