Opgaver om lineær programmering

Denne guide handler om optimering af lineære funktioner i to variable. Hvis din opgave handler om en lineær funktion, så vil forskriften f(x,y) = ax + by typisk være givet i opgaven. Hvis du arbejder med en funktion på formen f(x,y) = ax2 + bx + cy2 + dy + h, så skal du benytte guiden Opgaver om kvadratisk programmering.

Opgaver om funktioner i to variable handler typisk om en virksomhed, der producerer og sælger to produkter. Virksomhedens ressourcer er begrænsede, og virksomheden må derfor forholde sig til, hvor mange enheder af hvert produkt, der skal produceres, hvis produktionen skal være optimal.

I denne guide viser vi, hvordan du kan illustrere virksomhedens produktionskapacitet ved at tegne et polygonområde, tegne niveaulinjer og bestemme den produktionssammensætning, der er optimal for virksomheden. Herunder får du seks eksempler på opgaver, der kan løses med denne guide.

  • Tegn polygonområdet givet ved begrænsningerne.
  • Tegn begrænsningerne i et koordinatsystem.
  • Tegn niveaulinjerne N(5) og N(7).
  • Bestem det størst mulige dækningsbidrag.
  • Bestem hvor mange enheder af hhv. produkt A og produkt B, virksomheden skal producere og sælge, for at få det størst mulige samlede dækningsbidrag.
  • Bestem det antal færdigsalater af typen Super Salatmix og Everyday Salad virksomheden skal producere og sælge, for at det samlede ugentlige dækning…

...

Metode

1. Afgør, hvad x og y står for og identificér betingelserne

Virksomheden sælger to produkter. Antallet af enheder, der sælges af hvert produkt, beskrives typisk med de to variable, x og y. Læs i opgaveformuleringen, hvilken variabel der angiver mængden af hvilket produkt.

Virksomhedens produktion er underlagt nogle ressourcebegrænsninger (fx materialer eller tid). Begrænsningerne er givet i opgaven.

a) Hvis begrænsningerne er givet ved en række uligheder, så kan du gå videre til punkt 2.

b) Hvis begrænsningerne er beskrevet i opgaveformuleringen, så skal du selv opstille de uligheder, der svarer til begrænsningerne.
Hvis x er antallet af enheder, der skal produceres, af produkt A, og y er antallet af enheder, der skal produceres, af produkt B, så vil ulighederne typisk være på formen

 \begin{align*} &\textit{m\ae ngden af ressourcen, der skal bruges til} \ \acute{e} \textit{n enhed af produkt A} \cdot x \\ + \ &\textit{m\ae ngden af ressourcen, der skal bruges til} \ \acute{e} \textit{n enhed af produkt B} \cdot y \\ \leq \ &\textit{m\ae ngden af ressourcen, der er til r\aa dighed} \end{align*}

Hvis der er et krav om, at der skal produceres en vis mængde k af et produkt, så er uligheden på formen x ≥ k eller y ≥ k (afhængigt af om der er tale om produkt A eller produkt B). Hvis ikke der eksplicit står, at der minimum skal produceres et vist antal af hvert produkt, så vil ulighederne x ≥ 0 og y ≥ 0 typisk være gældende, da antallet af enheder, der skal produceres, ikke kan være negativt. Det står dog sjældent eksplicit i opgaven, og derfor skal du selv huske at opskrive disse uligheder.

Der kan også være en begrænsning på, hvor mange…

...

Eksempel

En virksomhed producerer to typer müsli, hverdagsmüsli og weekendmüsli, der bl.a. består af havregryn og mandler. Virksomhedens levering af havregryn og mandler er i en periode begrænset, og de har derfor kun 320 kg havregryn og 20 kg mandler til rådighed pr. dag.

Til én pakke hverdagsmüsli skal der bruges 0,6 kg havregryn og 0,03 kg mandler, mens der til én pakke weekendmüsli skal bruges 0,4 kg havregryn og 0,04 kg mandler. 

Funktionen f(x,y) = 20x + 23y beskriver virksomhedens samlede dækningsbidrag i kr. ved salg af x pakker hverdagsmüsli og y pakker weekendmüsli.

Tegn polygonområdet givet ved begrænsningerne, og bestem virksomhedens størst mulige dækningsbidrag pr. dag.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

 …

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind