Bestem en løsning til en differentialligning

I opgaver af denne type får du typisk givet en differentialligning. Differentialligningen er ofte opstillet som en model af en virkelig situation og kan fx beskrive udviklingen i antallet af individer i en population af fisk eller mængden af medicin i blodet hos en patient, over tid.

Herunder får du fire eksempler på opgaveformuleringer:

  • Bestem den fuldstændige løsning til denne differentialligning.
  • Bestem samtlige løsninger til ovenstående differentialligning.
  • Bestem en forskrift for funktionen f(t).
  • Bestem den løsning til differentialligningen, som opfylder, at y(0) = 20.

Ofte står der eksplicit i opgaven, at du skal bestemme en løsning til en differentialligning, eller at du skal bestemme en forskrift for en funktion, der er en løsning til en differentialligning. Det er derfor forholdsvis let at genkende opgavetypen.…

...

Partikulære løsninger og den fuldstændige løsning

Den fuldstændige løsning består af alle de funktioner, der er en løsning til differentialligningen. Fx kan man skrive den fuldstændige løsning til differentialligningen y'=2y sådan her:

y(x)=c \cdot e^{2 \cdot x}, hvor c er en konstan…

...

Sådan afgør du, om du skal bestemme den fuldstændige løsning eller en partikulær løsning

Hvis du skal bestemme den fuldstændige løsning til en differentialligning, vil det ofte stå eksplicit i opgaven, fx ”bestem den fuldstændige løsning…” eller ”bestem samtlige løsninger…”.

Hvis ikke der står i opgaven, at du skal bestemme den fuldstændige løsning eller samtlige løsninger til differentialligningen, så skal du formentlig bestemme en partikulær løsning. Det står typisk ikke eksplicit i opgaven, at det er en partikulær løsning, du skal bestemme, så du skal genkende opgaven på, at du får oplyst en begyndelsesbetingelse og skal bestemme den løsning, der opfylder betingelsen. Begyndelsesbetingelsen kan være beskrevet på mange måder. I den grå boks herunder kan du se tre eksempler.

Sådan kan en begyndelsesbetingelse være givet

I en opgave kaldes de variable y og t. y er antallet af harer på en ø, mens t er tiden siden første optælling (målt i måneder). En begyndelsesbetingelse kunne være, at y = 2000, når t = 0. Herunder er denne begyndelsesbetingelse formuleret på tre forskellige måder:

  • y(0) = 2000
  • Til tiden t = 0 er der 2000 harer på øen.
  • Der er 2000 harer på øen ved den første optælling.

Her finder du en beskrivelse af, hvordan du kan bestemme hhv. den fuldstændige løsning og en partikulær løsning til en differentialligning:

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind