Matematik A STX - 6. december 2019

Her er vores besvarelse af opgaverne fra den skriftlige eksamen i Matematik A på STX d. 6. december 2019 under den nye ordning.

Besvarelsen indeholder opgavernes facit og vores løsninger. Løsningerne til opgaverne i delprøve 1 er lavet i to versioner:

• den ene version er lavet, så den ligner en eksamensbesvarelse
• den anden version indeholder ekstra forklaringer og henvisninger til de formler i formelsamlingen, som vi har brugt.

Løsningerne til opgaverne i delprøve 2 er lavet med CAS-værktøjerne WordMat, Maple™ og TI-Nspire™.

Bemærk: Vi har ikke løst opgave 8 og 11, som tager udgangspunkt i forberedelsesmaterialet, da der udkommer et nyt forberedelsesmateriale hvert år, og derfor bliver der formentlig ikke stillet opgaver inden for emnet igen.

Delprøve 1

Den første delprøve består af følgende opgaver:

1a) Reducér udtrykket 5ab - 4a² + (2a - b)².

2a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P.

3a) Bestem koordinatsættet til punktet P.

3b) Bestem t₀.

4a) Skitsér grafen for f i intervallet [0;2π].

4b) Bestem f '(π).

5a) Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,5).

6a) Benyt figuren til at bestemme, hvor meget poserne fra fabrik A vejer i gennemsnit.

6b) Afgør, om det er poserne fra fabrik A eller B, der varierer mest i vægt.

7a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem.

7b) Bestem en forskrift for g.

8a) Udfyld en Dijkstra-tabel, og benyt denne til at bestemme den korteste rute fra Havrebjerg til Rønnede. (Opgaven hører til forberedelsesmaterialet, og vi har derfor ikke besvaret opgaven.)

9a) Bestem a, så cirklen går igennem punktet P(2,6).

9b) Bestem de to værdier for a, for hvilke cirklen har radius 5.

Delprøve 2

Den anden delprøve består af følgende opgaver:

10a) Tegn grafen for f, og bestem arealet af M.

10b) Bestem rumfanget af væsken i glasset, når glasset er fyldt til randen.

11a) Afgør, om der kan laves en Eulertur i grafen. (Opgaven hører til forberedelsesmaterialet, og vi har derfor ikke besvaret opgaven.)

11b) Angiv et udspændende træ i grafen. Begrund dit svar. (Opgaven hører til forberedelsesmaterialet, og vi har derfor ikke besvaret opgaven.)

12a) Tegn et hældningsfelt for differentialligningen sammen med løsningskurven gennem punktet (0,100).

12b) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden for antallet af bjørne, når der er 100 bjørne i habitatet.

12c) Bestem henholdsvis det mindste og det største antal bjørne, der kan være i habitatet, så antallet af bjørne ifølge modellen er voksende.

13a) Gør rede for, at residualerne i modellen med god tilnærmelse kan siges at være normalfordelte.

13b) Bestem et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten i modellen, og benyt dette til at afgøre, om biologernes formodning er troværdig.

14a) Benyt modellen til at bestemme den største lodrette afstand d i det indre af forbrændingskammeret.

14b) Benyt modellen til at bestemme længden af randen af det indre af
forbrændingskammeret.

15a) Gør rede for, at voluminet V af hønsegården som funktion af x og y er bestemt ved  hvor V(x,y) betegner voluminet af hønsegården (målt i m³) med bredde x (målt i m) og længde y (målt i m).

15b) Tegn grafen for V i grafvinduet [0;20] × [0;20] × [0;35].

15c) Bestem arten af P, og forklar, hvad P og arten af P fortæller om hønsegården.