Vektorer i rummet

Indhold

Vektorkoordinater
Regneregler for vektorer
Regneregler for vektorkoordinater
Stedvektor
Vektor mellem punkter
Indskudsreglen
Længden af en vektor
Enhedsvektor
Skalarprodukt (prikprodukt)
Vinkel mellem vektorer
Ortogonale vektorer
Projektion af vektor på vektor
Krydsprodukt
Parallelle vektorer

Vektorkoordinater

Vektorer i rummet har tre koordinater:

$\vec{a} = \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right )$

Regneregler for vektorer

Hvis $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ er tre vektorer i rummet, og k1 og k2 er reelle tal, så er

$\begin{align*} &1) \ \ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\[1em] &2) \ \ k_1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot k_1 \\[1em] &3) \ \ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\\[1em] &4) \ \ (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}\\[1em] &5) \ \ 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\\[1em] &6) \ \ (k_1 + k_2) \cdot \vec{a} = k_1 \cdot \vec{a} + k_2 \cdot \vec{a}\\[1em] &7) \ \ k_1 \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k_1 \cdot \vec{a} + k_1 \cdot \vec{b}\\[1em] &8) \ \ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\\[1em] &9) \ \ (k_1 \cdot k_2) \cdot \vec{a} = k_1 \cdot (k_2 \cdot \vec{a})\\[1em] \end{align*}$

Regneregler for vektorkoordinater

Hvis to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er givet ved

$\begin{align*} &\vec{a} = \left ( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right ) \\[0.5em] &\vec{b} = \left ( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right ) \end{align*}$

og k er en reel konstant, så er

$\begin{align*} &1) \ \ \ \vec{a} + \vec{b} = \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{matrix} \right )\\[1em] &2) \ \ \ \vec{a} - \vec{b} = \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right ) - \left ( \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3 \end{matrix} \right )\\[1em] &3) \ \ \ k \cdot \vec{a} = k \cdot \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} k \cdot a_1\\ k \cdot a_2\\ k \cdot a_3 \end{matrix} \right )\\ \end{align*}$