Matematik A HTX - 8. december 2021

Her er vores besvarelse af opgaverne fra den skriftlige eksamen i Matematik A på HTX d. 8. december 2021.

Besvarelsen indeholder opgavernes facit og vores løsninger. Løsningerne til opgaverne i delprøve 1 er lavet i to versioner:

• den ene version er lavet, så den ligner en eksamensbesvarelse
• den anden version indeholder ekstra forklaringer og henvisninger til de formler i formelsamlingen, som vi har brugt.

Løsningerne til opgaverne i delprøve 2 er lavet med CAS-værktøjet WordMat.

Bemærk: Besvarelsen indeholder ikke selve opgaverne.

Delprøve 1

Den første delprøve består af følgende opgaver:

1a) Bestem integralet

2a) Udfyld den manglende plads i hvert af de to linjeelementer I og II, svarende til differentialligningen.

2b) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet (4;2).

3a) Tegn grafen for en funktion f, der opfylder følgende: Dm(f) = ]-4;7], Vm(f) = ]-2;6], grafen for f har netop to vandrette tangenter, f er aftagende i intervallet [0;3].

4a) Bestem de første tal i løsningen af rekursionsligningen og udfyld tabellen.

Delprøve 2

Den anden delprøve består af følgende opgaver:

5a) Bestem konstanterne a og b, og indtegn grafen for m sammen med datapunkterne.

5b) Gør rede for hvad vægten af den tomme æske er, og hvor meget én skrue vejer.

5c) Kan begge disse krav opfyldes på samme tid? Og hvor mange skruer kan der i så fald højst være i æsken?

6a) Vis at A(6;-2) ligger på cirklen.

6b) Bestem længden af linjestykket AB.

6c) Bestem v.

6d) Bestem p.

7a) Bestem koordinaterne for en vektor , som står vinkelret på både og

7b) Bestem projektionen af på

7c) Bestem de værdier af t, hvor arealet af parallelogrammet udspændt af og er 40.

8a) Bestem taylorpolynomiet P₃ for f af grad 3 med udviklingspunkt x₀ = 0,3 og indtegn graferne for f og P₃ i intervallet [0,2;0,4] i samme koordinatsystem. Kommentér.

8b) Vis, at taylorpolynomiet P₄ for f af grad 4 med udviklingspunkt x₀ = 0,3 er givet ved P₄(x) = -249,6 · x⁴ + 332,9 · x³ - 169,8 · x² + 39,95 · x - 2,879.

8c) Bestem vinklen v i overgangen fra P₄ til den lodrette linje, som vist på figur 3.

9a) Bestem skålens højde h.

9b) Bestem arealet af skålens bund.

9c) Bestem skålens volumen.

Eksamenskode: htx213-MAT/A-24052022