Matematik A HHX - 25. maj 2020

Her er vores besvarelse af opgaverne fra den skriftlige eksamen i Matematik A på HHX d. 25. maj 2020 under den nye ordning.

Besvarelsen indeholder opgavernes facit og vores løsninger. Løsningerne til opgaverne i delprøve 1 er lavet i to versioner:

den ene version er lavet, så den ligner en eksamensbesvarelse
den anden version indeholder ekstra forklaringer og henvisninger til de formler i formelsamlingen, som vi har brugt.

Løsningerne til opgaverne i delprøve 2 er lavet med CAS-værktøjet WordMat.

Bemærk: Vi har ikke løst opgave 10b og 10c, som tager udgangspunkt i forberedelsesmaterialet, da der udkommer et nyt forberedelsesmateriale hvert år, og derfor bliver der formentlig ikke stillet opgaver inden for emnet igen.

Delprøve 1

Den første delprøve består af følgende opgaver:

1a) Tegn en graf for f. Bilag 1 kan benyttes.

2a) Gør rede for, at ellipsen har centrum i (5,-2) og halvakser a = 2 og b = 3.

3a) Bestem mindsteværdien for f indenfor polygonområdet.

4a) Bestem arealet af området M.

5a) Gør rede for, at $y = -3\ln(x)+\frac{1}{2}x^2-5x-3$ er løsning til differentialligningen $x\cdot y' - 3\ln(x) = y + \frac{1}{2}x^2$ .

6a) Skriv en sammenhængende tekst på ca. ½ side om eksponentielle funktioner. Inddrag flest mulige faglige begreber og giv et eksempel på en anvendelse.

Delprøve 2

Den anden delprøve består af følgende opgaver:

7a) Bestem ydelsen på kreditforeningslånet.

7b) Bestem, hvor meget personen skal tjene på udlejningen det første år efter anskaffelsen for at dække de faste omkostninger og renteudgifterne på lånet.

8a) Bestem definitionsmængden og nulpunkterne for f.

8b) Nedenfor er stamfunktionen $F(x) = \int f(x)dx$ bestemt. Forklaringer til udregningerne 1) - 4) skal gives.

8c) Benyt stamfunktionen fra spørgsmål b) til at bestemme arealet mellem grafen for f og x-aksen i intervallet fra -2 til 4.

9a) Bestem forskriften for det samlede dækningsbidrag.

9b) Gør rede for, at niveaukurverne N(t) er ellipser for t < 3500, og tegn N(3000) i et koordinatsystem sammen med polygonområdet.

9c) Bestem det størst mulige samlede dækningsbidrag.

10a) Bestem gennemsnittet og variansen i stikprøven for månedslønnen for både mænd og kvinder.

10b) Opstil hypotesen for om varianserne kan antages at være ens, og test denne med et signifikansniveau på 5%. (Opgaven hører til forberedelsesmaterialet, og vi har derfor ikke besvaret opgaven.)

10c) Vurdér, om der er forskel på lønnen for de to køn. (Opgaven hører til forberedelsesmaterialet, og vi har derfor ikke besvaret opgaven.)

11a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra stikprøven og opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at teste, om der er en sammenhæng.

11b) Bestem bidragene til $\chi^2$ –teststørrelsen og forklar, hvordan bidraget fra de personer i provinsen, der svarede ”Nej” udregnes. Test desuden hypotesen med et signifikansniveau på 5% .

11c) Lav et xy-plot, og opstil en lineær regressionsmodel y = ax + b, hvor x er år efter 2008 og y er andelen, der har udført sort arbejde.

11d) Tegn et residualplot og bestem et 95%-konfidensinterval for hældningen a. Vurdér om andelen af udført sort arbejde er faldende.

12a) Bestem en forskrift for q.

12b) Bestem det tidspunkt i produktets levetid, hvor afsætningen vokser hurtigst.