Den naturlige logaritme

Indhold

Hvad er den naturlige logaritme?
Beregning af logaritmer
Graf
Asymptoter
Definitionsmængde og værdimængde
Nulpunkter og fortegnsvariation
Monotoniforhold
Regneregler

Hvad er den naturlige logaritme?

Den omvendte funktion til eksponentialfunktionen ex kaldes den naturlige logaritme. Den naturlige logaritme skrives ln(x).

Grafen for den naturlige logaritmefunktion fremkommer ved at spejle grafen for f(x) = ex i linjen givet ved ligningen y = x. På figuren herover ses grafen for f(x) = ex (blå), linjen givet ved ligningen y = x og grafen for f-1(x) = ln(x) (grøn).

Beregning af logaritmer

Da f-1(x) = ln⁡(x) er den omvendte funktion til f(x) = ex, så er

$\begin{align*} e^{\ln(x)} &= x \\[1em] \ln(e^{y}) &= y \end{align}$

Den naturlige logaritme til et positivt tal x, er det tal, som e skal opløftes i for at give x. Fx er ln(1) = 0, da e0 = 1.

Det vil typisk være nødvendigt at bruge en lommeregner eller et CAS-værktøj for at kunne bestemme logaritmer. Her kan du se tre eksempler:

$\begin{align*} &\ln(2) \approx 0,69315 \quad &&\text{fordi} \quad &&e^{0,69315} \approx 2 \\[1em] &\ln(4,1) \approx 1,41099 \quad &&\text{fordi} \quad &&e^{1,41099} \approx 4,1 \\[1em] &\ln(10) \approx 2,30259 \quad &&\text{fordi} \quad &&e^{2,30259} \approx 10 \end{align*}$

Graf

Ovenstående figur viser grafen for ln(x). D...