Ligning på normalform

Indhold

Ellipsens ligning på normalform
- Eksempel: Bestem ligning
- Eksempel: Undersøg, om punkt ligger på ellipse
Cirkler er ellipser, hvor a = b
Fra ligning på normalform til den generelle andengradsligning i to variable
- Eksempel: Omskriv ligning
Fra den generelle andengradsligning i to variable til ligning på normalform
- Eksempel: Omskriv ligning

Ellipsens ligning på normalform

Sætning. Ellipsens ligning på normalform.

Ellipsen med centrum i C(0,0), den halve storakse a og den halve lilleakse b er givet ved ligningen

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\$

Eksempel: Bestem ligning

En ellipse har centrum i C(0,0). Halvakserne er a = 4 og b = 2. Vi vil bestemme en ligning for ellipsen på normalform.

Vi indsætter halvakserne i ellipsens ligning på normalform. Ellipsen er givet ved følgende ligning på normalform:

$\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} =1$

Eksempel: Undersøg, om punkt ligger på ellipse

En ellipse er givet ved ligningen

$\frac{x^2}{8^2} + \frac{y^2}{4^2}=1$

Vi vil undersøge, om punktet P(6.4,-2.4) ligger på ellipsen.

Punktet P ligger på ellipsen, hvis punktets koordinater opfylder ellipsens ligning. Vi sætter punktets koordinater ind i udtrykket på venstre side af lighedstegnet i ligningen:

$\begin{align*} \frac{6,4^2}{8^2} + \frac{(-2,4)^2}{4^2} &= \frac{40,96}{64} + \frac{5,76}{16} \\[1em] &= \frac{40,96}{64} + \frac{23,04}{64} \\[1em] &=\frac{64}{64} \\[1em] &= 1 \end{align}$

Punktets koordinater opfylder...