Beviser
Ellipser
Afstanden fra et punkt til brændpunkterne er 2a
Du kan læse mere om en ellipses brændpunkter og storakse på siden Brændpunkter og akser.
BevisVi betragter en ellipse med centrum i C(0,0) og storakse 2a. Ellipsens skæringspunkter med førsteaksen kalder vi for Q og R.
Vi ved, at alle punkterne på ellipsen har samme samlede afstand til brændpunkterne. Denne afstand kalder vi for k. Vi skal vise, at k = 2a.
Punktet Q ligger på ellipsen, så den samlede afstand fra Q til brændpunkterne er k:
|F1Q| + |F2Q| = k
Vi bemærker, at da punkterne Q, F1 og F2 alle ligger på førsteaksen, så er
|F2Q| = |F2F1| + |F1Q|
Vi sætter ovenstående ligning ind i ligningen før og får så:
|F1Q| + |F2F1| + |F1Q| = k
Da ellipsen er symmetrisk om andenaksen, så er
|F1Q| = |F2R|
Vi be...