Beviser

Ellipser

Afstanden fra et punkt til brændpunkterne er 2a

Sætning. Afstand fra punkt på ellipse til brændpunkter.

Den samlede afstand fra ethvert punkt P på en ellipse med storakse 2a til brændpunkterne, F1 og F2, er 2a:

|F1P| + |F2P| = 2a

Du kan læse mere om en ellipses brændpunkter og storakse på siden Brændpunkter og akser.

Bevis

Vi betragter en ellipse med centrum i C(0,0) og storakse 2a. Ellipsens skæringspunkter med førsteaksen kalder vi for Q og R.

Vi ved, at alle punkterne på ellipsen har samme samlede afstand til brændpunkterne. Denne afstand kalder vi for k. Vi skal vise, at k = 2a.

Punktet Q ligger på ellipsen, så den samlede afstand fra Q til brændpunkterne er k:

|F1Q| + |F2Q| = k 

Vi bemærker, at da punkterne Q, F1 og F2 alle ligger på førsteaksen, så er

|F2Q| = |F2F1| + |F1Q|

Vi sætter ovenstående ligning ind i ligningen før og får så:

|F1Q| + |F2F1| + |F1Q| = k 

Da ellipsen er symmetrisk om andenaksen, så er

|F1Q| = |F2R|

Vi be...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind