Bevis for logaritmeregneregler

Her beviser vi en række regneregler for titalslogaritmen og den naturlige logaritme.

Titalslogaritmen

Her har vi samlet tre regneregler for titalslogaritmen. Nedenfor beviser vi regnereglerne.

Sætning. Regneregler for titalslogaritmen.

Når a > 0, b > 0 og \mathbb{R}, så er

  1. \log(a\cdot b) = \log(a) + \log(b)
  2. \log \left ( \frac{a}{b} \right ) = \log(a) - \log(b)
  3. \log \left ( a^{x} \right ) = x\cdot \log(a)

Du kan se eksempler på brugen af regnereglerne på siden Logaritmefunktioner.

I beviserne benytter vi, at log(x) og 10x er omvendte funktioner. Dermed er

a = 10log⁡(a)

b = 10log⁡(b)

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

Bevis for log⁡(a·b) = log⁡(a) + log⁡(b)

Vi beviser regnereglen ved at omskrive udtrykket log⁡(a·b):

\log(a\cdot b) = \log \left ( 10^{\log (a)} \cdot 10^{\log(b)}\right )     = \log \left ( 10^{\log (a) +\log(b)}\right )     = \log (a) +\log(b)

Bevis for log⁡(a/b) = log⁡(a) - log⁡(b)

Vi beviser regnereglen ved at omskrive udtrykket log⁡(a/b):

\log\left ( \frac{a}{b} \right ) = \log\left ( \frac{10^{\log(a)}}{10^{\log(b)}} \right )     = \log\left ( 10^{\log(a)-\log(b)} \right )     = \log(a)-\log(b)

Bevis for log⁡(

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind