Differentialkvotient

På denne side beskriver vi bl.a., hvordan differentialkvotienten defineres, og hvad det vil sige, at en funktion er differentiabel i et punkt. Vi introducerer også begrebet øjeblikkelig væksthastighed.

Differentialkvotienten er tangenthældningen

Figuren herover viser grafen for funktionen f. Differenskvotienten for f i x0 er

Vi ser nu på, hvad der sker, når vi lader Δx gå mod 0, dvs. når punktet Q nærmer sig punktet P.

Vi fornemmer, at når Δx nærmer sig 0, så nærmer sekanten sig den grønne linje. Den grønne linje kalder vi tangenten til grafen for f i punktet P.

Jo tættere Δx kommer på 0, jo mere nærmer sekanten sig tangenten. Dermed nærmer sekanthældningen sig også tangentens hældning. Differenskvotienten, der angiver hældningen på sekanten, har altså en grænseværdi for Δx → 0. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten og er hældningen på tangenten.

Differentialkvotienten eksisterer ikke altid

I nogle tilfælde findes der ikke en tangent til grafen for f i et punkt P. Eksempelvis ...