Bevis for konstantreglen

Her beviser vi konstantreglen. Reglen beskriver, hvordan vi kan differentiere funktionen · f, hvor k er en konstant og f er en funktion.

Sætning. Konstantreglen.

Hvis k er en konstant, og funktionen f er differentiabel i x0, så er funktionen

· f

differentiabel i x0 og

\left ( k \cdot f \right )' (x_0) = k \cdot f'(x_0)

Du kan se et eksempel, hvor vi bruger konstantreglen, på siden Regler for differentiation.

Konstantreglen kan bevises ved at bruge tretrinsreglen eller ved at bruge produktreglen. Vi gennemgår begge beviser.

Bevis ved brug af tretrinsreglen

Vi antager, at funktionen f er differentiabel i x0. Vi beviser, at · f er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i = x0.

\frac{(k\cdot f)(x_0+\Delta x)-(k\cdot f)(x_0)}{\Delta x} = \frac{k\cdot f(x_0+\Delta x)-k \cdot f(x_0)}{\Delta x}

 

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten.

Da vi ikke kender grænseværdien for differenskvotienten, som den er skrevet op i 1. trin, så omskriver vi differenskvotienten til et udtryk, hvis grænsev

...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind