Runge-Kutta-metoden
Den klassiske Runge-Kutta-metode
Runge-Kutta-metoderne er en samling af metoder, der kan bruges til at bestemme numeriske løsninger til differentialligninger. Blandt andet er Eulers metode en Runge-Kutta-metode.
På denne side gennemgår vi, hvordan den klassiske Runge-Kutta-metode (RK4) kan bruges til at bestemme en numerisk løsning til et begyndelsesværdiproblem, der består af en begyndelsesbetingelse y(t0) = y0 og en 1. ordens differentialligning på formen
y' = h(t,y)
Udtrykket h(t,y) på højre side af lighedstegnet angiver, at der skal stå et udtryk, der afhænger af t og/eller y, fx t·y, t2 eller 5 - y.
Formlerne for punkternes koordinater
En numerisk løsning består af en række punkter, der tilnærmelsesvist ligger på den sande løsningskurve. Når du benytter Runge-Kutta-metoden, skal du bruge nedenstående formler til at bestemme punkternes koordinater:
![\begin{align*} t_{n+1} &= t_n + \Delta t \\[0.5em] y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}\cdot \left ( k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4 \right ) \end{align*}](/media/webbooks/preview/1521/17756/images/equations/6dvv6re-r5rcyb1grughra==.svg)
Konstanterne k1, k2, k3 og k4 er givet ved:
![\begin{align*} k_1 &= \Delta t \cdot h \left ( t_n,y_n \right ) \\[1em] k_2 &= \Delta t \cdot h \left ( t_n+\frac{1}{2}\Delta t, y_n + \frac{1}{2}k_1 \right ) \\[1em] k_3 &= \Delta t \cdot h \left ( t_n + \frac{1}{2}\Delta t,y_n+\frac{1}{2}k_2 \right ) \\[1em] k_4 &= \Delta t \cdot h \left ( t_n+\Delta t, y_n+k_3 \right ) \end{align*}](/media/webbooks/preview/1521/17756/images/equations/4hpkkvxzbnicvflxfnbpsg==.svg)
Da konstanterne afhæn...
