Eulers metode

Hvad kan Eulers metode bruges til?

Eulers metode kan bruges til at bestemme en numerisk løsning til et begyndelsesværdiproblem, hvor differentialligningen er af 1. orden og på formen

y' = h(t,y)

At der står h(t,y) på højre side, betyder, at det er et udtryk der afhænger af t og/eller y, fx y + t, 5y2, √t eller √t · 9y. Her benytter vi t som den uafhængige variabel, dvs. at løsningen y er en funktion af t. Vi kunne også vælge at lade x være den uafhængige variabel. I så fald skriver vi h(x,y).

Eksempel: Tre begyndelsesværdiproblemer, der kan løses med Eulers metode

1. Løs differentialligningen y' = y + t, så y(0) = 0.
   Her er h(t,y) = y + t.
2. Løs begyndelsesværdiproblemet y' = x2, y(1) = 7 på intervallet [-1,1].
   Her er h(x,y) = x2.
3. Bestem den løsning til differentialligningen y' = y + √y, der opfylder, at y(2) = 5.
   Her er h(t,y) = y + √y.

Idéen bag Eulers metode

Vi vil bestemme den løsning, f, til en differentialligning y' = h(t,y), der opfylder begyndelsesværdiproblemet f(t0) = y0. Vi skal altså bestemme den løsn...