Eulers metode

Her gennemgår vi Eulers metode, der kan bruges til at bestemme en numerisk løsning til en 1. ordens differentialligning. Vi beskriver bl.a. idéen bag Eulers metode, og opstiller de formler, du skal bruge, når du anvender metoden.

Hvornår kan Eulers metode bruges?

Eulers metode kan bruges til at bestemme en numerisk løsning til et begyndelsesværdiproblem, hvor differentialligningen er af 1. orden og på formen

y' = h(t,y)

At der står h(t,y) på højre side, betyder, at det er et udtryk der afhænger af t og y, fx + t, 5y2, √t eller √t · 9y. Her benytter vi t som den uafhængige variabel, dvs. at løsningen y afhænger af t. Vi kunne også vælge at lade x være den uafhængige variabel. I så fald skriver vi h(x,y).

Eksempel: Tre begyndelsesværdiproblemer, der kan løses med Eulers metode

  1. Løs differentialligningen y' = + t, så y(0) = 0.
    Her er h(t,y) = + t.
  2. Løs begyndelsesværdiproblemet y' = x2, y(1) = 7 på intervallet [-1,1].
    Her er h(x,y) = x2.
  3. Bestem den løsning til differentialligningen y' = + √y, der opfylder, at y(2) = 5.
    Her er h(t,y) = + √y.

Idéen bag Eulers metode

Vi vil bestemme den løsning, f, til en differentialligning y' = h(t,y), der opfylder begyndelsesværdiproblemet f(t0) = y0. Vi skal altså bestemme den løsning, hvis løsningskurve går gennem punktet P(t0,y0). Da f er en løsning til differentialligningen, så er

'(t) = y' = h(t,y)

I punktet P har løsningskurven en tangent med ligningen

\begin{align*} y &= f'(t_0) \cdot (t-t_0) + f(t_0) \\ &= h(t_0,y_0) \cdot (t-t_0) + y_0 \end{align*}

På figuren herunder har vi markeret punktet P(t0,y0) og tegnet tangenten.

Omkring punktet P har tangenten tilnærme...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind