Numerisk løsning

En numerisk løsning er en række punkter, der tilnærmelsesvist ligger på en løsningskurve. Den numeriske løsning angives ofte i form af en tabel med koordinaterne til punkterne eller ved at tegne punkterne ind i et koordinatsystem og forbinde dem med linjestykker.

Den numeriske løsning er ikke en eksakt løsning, men en tilnærmelse. Typisk vælges den numeriske løsning, når det ikke er muligt at løse differentialligningen analytisk, dvs. når det ikke er muligt at bestemme forskriften for løsningsfunktionen.

   Numeriske metoder klassificeres efter deres orden (ikke at forveksle med differentialligningers orden!). En metodes orden afhænger af, om den numeriske løsning er identisk med den sande løsning, når den sande løsning er et polynomium. Hvis den sande løsning er et n’te gradspolynomium og den numeriske løsning er identisk med den sande løsning, så er den numeriske metode af orden n.

Jo højere orden, jo mere præcis er metoden som regel.

Her i kompendiet gennemgår vi Eulers metode og Runge-Kutta-metoden.

Hvis løsningen til en differentialligning er et førstegradspolynomium (en lineær funktion), og vi benytter Eulers metode til at bestemme en numerisk løsning, så vil den numeriske løsning være identisk med den sande løsning. Hvis løsningen i stedet er et andengradspolynomium, så vil den numeriske løsning ikke være identisk med den sande løsning. Eulers metode er derfor en numerisk metode af 1. orden.

Den Runge-Kutta-metode, som vi gennemgår, er en numerisk metode af 4. orden. Navnet forkortes derfor nogle gange til RK4. Metoden er også kendt som den klassiske Runge-Kutta-metode eller Runge-Kutta-metoden.

Her får du et uddrag fra siden Eulers metode:

Du bestemmer en numerisk løsning med Eulers metode ved at benytte formlerne

\begin{array}{c} t_{n+1} = t_n + \Delta t \\ \\ y_{n+1} = h(t_n,y_n) \cdot \Delta t + y_n \end{array}

Bestem først værdierne t1 og y1 ved at sætte begyndelsesværdien yy(t0) og skridtlængden Δt ind i formlerne. Bestem derefter t2 og y2 ved at sætte t1y1 og Δt ind i formlerne. Fortsæt indtil du har bestemt løsningen på hele det interval, du er interesseret i.

Hvis du skal bestemme mange punkter, kan du med fordel benytte et regneark som det herunder...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind