Numerisk løsning

Hvad er en numerisk løsning?

En numerisk løsning er en række punkter, der tilnærmelsesvist ligger på en løsningskurve. Den numeriske løsning angives ofte i form af en tabel med koordinaterne til punkterne eller ved at tegne punkterne ind i et koordinatsystem og forbinde dem med linjestykker.

En numerisk løsning er ikke en eksakt løsning, men en tilnærmelse. Typisk vælges en numerisk løsning, når det ikke er muligt at løse differentialligningen analytisk, dvs. når det ikke er muligt at bestemme forskriften for løsningsfunktionen.

Numeriske metoders orden

Numeriske metoder klassificeres efter deres orden (ikke at forveksle med differentialligningers orden). En metodes orden afhænger af, om den numeriske løsning er identisk med den sande løsning, når den sande løsning er et polynomium. Hvis den sande løsning er et n’te gradspolynomium og den numeriske løsning er identisk med den sande løsning, så er den numeriske metode af orden n.

Jo højere orden, jo mere præcis er metoden som regel.

Eksempler på numeriske metoder

Her i kompendiet gennemgår vi to numeriske metoder:

Hvis løsningen til en differentialligning er et førstegradspolynomium (en lineær funktion), og vi benytter Eulers metode til at bestemme en numerisk løsning, så vil den numeriske løsning være identisk med den sande løsning. Hvis løsningen i stedet er et andengradspolynomium, så vil den numeriske løsning ikke være identisk med den sande løsning. Eulers metode er derfor en numerisk metode af 1. orden.

Den Runge-Kutta-metode, som vi gennemgår, er en numerisk metode af 4. orden. Navnet forkortes derfor nogle gange til RK4. Metoden er også kendt som den klassiske Runge-Kutta-metode eller Runge-Kutta-metoden.