Fuldstændig løsning og partikulær løsning

Hvad er løsninger og løsningskurver?

En løsning til en differentialligning er en funktion, der opfylder differentialligningen.

En løsning til en differentialligning er altid defineret på et interval. Når du løser en differentialligning, så skal du derfor angive det interval, som er løsningens definitionsmængde.

Graferne for de funktioner, der opfylder differentialligningen, kaldes for løsningskurver eller integralkurver.

Eksempel: En løsning

Betragt nedenstående differentialligning:

y' = 2y

En funktion f(x) er en løsning til differentialligningen, hvis f opfylder, at

'(x) = 2 · f(x)

Funktionen f(x) = e2x, x ∈ ]-∞,∞[ er en løsning til differentialligningen herover, da

\begin{align*} f'(x) &= \left ( e^{2x} \right )' \\[1em] &= 2 \cdot e^{2x} \\[1em] &= 2 \cdot f(x) \end{align*}

Eksempel: Flere løsninger

Differentialligningen y' = 2y har løsningen

f(x) = e2x, x ∈ ]-∞,∞[

Funktionen g(x) = 3e2x, ∈ ]-∞,∞[ er også en løsning, idet

\begin{align*} g'(x) &= \left ( 3 e^{2x} \right )' \\[1em] &= 3 \cdot \left ( e^{2x} \right )' \\[1em] &= 3 \cdot 2 \cdot e^{2x} \\[1em] &= 2 \cdot \left (3 e^{2x} \right ) \\[1em] &= 2 \cdot g(x) \end{align*}

De to tilhørende løsningskurver kan ses herunder.

Eksempel: Ingen løsninger

Vi ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind