Bevis for løsningen til y' + g(x)y = h(x) (Panserformlen)

På denne side beviser vi, hvordan du løser en lineær 1. ordens differentialligning, dvs. en ligning på formen y' + g(x)y = h(x). Løsningsformlen kaldes for Panserformlen.

Sætning. Den fuldstændige løsning til y' + g(x)= h(x).

Når g og h er kontinuerte funktioner, så er den fuldstændige løsning til en lineær 1. ordens differentialligning

y' + g(x)y = h(x)

givet ved

y = e^{-G(x)} \cdot \left ( \int e^{G(x)}h(x)dx \right )

Funktionen G er en stamfunktion til g.

Vi beviser sætningen ved at omskrive differentialligningen.

Få forklaringer til alle omskrivningerne ved at holde musen over pilene.

Eksponentialfunktionen e^x er positiv for alle værdier af x, så e^{G(x)} \neq 0. Vi kan derfor gange hele differentialligningen igennem med e^{G(x)}:

 y'+g(x)y=h(x)    e^{G(x)} \cdot \left ( y' + g(x)y \right )=e^{G(x)} \cdot h(x)    e^{G(x)}\cdot y' + e^{G(x)} \cdot g(x)y=e^{G(x)} \cdot h(x)    y' \cdot e^{G(x)} + y \cdot e^{G(x)}g(x)=e^{G(x)}\cdot h(x)

Inden vi laver næste omskrivning, så ser vi på funktionen e^{G(x)}. Vi kan benytte kædereglen til at differentiere funktionen:

\left ( e^{G(x)} \right )'=e^{G(x)}\cdot G'(x)

Da G er en stamfunktion til g, så er G'(x) = g(x). Vi benytter den sammenhæng til at omskrive ovenstående ligning:

\left ( e^{G(x)} \right )'=e^{G(x)}\cdot g(x)

Vi benytter ligningen herover til at fortsætte omskrivningen af differentialligningen:

 y' e^{G(x)} + ye^{G(x)}g(x)=e^{G(x)}h(x)    y'e^{G(x)}+y\left ( e^{G(x)} \right )'=e^{G(x)}h(x)

Vi bemærker, at hvis vi bruger produktreglen på funktione...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind