Bevis for løsningen til y' + g(x)y = h(x) (Panserformlen)

Sætning. Panserformlen.

Den fuldstændige løsning til en lineær 1. ordens differentialligning

y' + g(x)\cdot y = h(x)

er givet ved

y = e^{-G(x)}\cdot \left ( \int{e^{G(x)}h(x)dx}\right )

Funktionerne g og h skal være kontinuerte. Funktionen G er en stamfunktion til g.

Løsningsformlen kaldes for Panserformlen.

Du kan se en række eksempler, hvor vi løser differentialligninger på formen y' + g(x)y = h(x), på siden y' + g(x)y = h(x).

Bevis

Vi beviser sætningen ved at omskrive differentialligningen.

Få forklaringer til alle omskrivningerne ved at holde musen over pilene.

Eksponentialfunktionen ex er positiv for alle værdier af x, så eG(x) ≠ 0. Vi kan derfor gange hele differentialligningen igennem med eG(x):

 y'+g(x)y=h(x)
   
 e^{G(x)} \cdot \left ( y' + g(x)y \right )=e^{G(x)} \cdot h(x)
   
 e^{G(x)}\cdot y' + e^{G(x)} \cdot g(x)y=e^{G(x)} \cdot h(x)
   
 y' \cdot e^{G(x)} + y \cdot e^{G(x)}g(x)=e^{G(x)}\cdot h(x)

Inden vi laver næste omskrivning, så ser vi på funktionen eG(x). Vi kan benytte ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind