[37]

Bevis for løsningen til y' = k · y · (M - y)

Sætning. Den fuldstændige løsning til y' = k · y · (M - y).

Den fuldstændige løsning til den logistiske ligning

0">

er funktionerne på formen

$y = \frac{M}{1+c\cdot e^{-kMx}}, \ \ c \in \mathbb{R}$

samt y = 0.

Du kan se en række eksempler, hvor vi løser differentialligninger på formen y' = k · y · (M - y), på siden Logistisk vækst.

Bevis

Beviset består af to dele. Først ser vi på den situation, hvor y = 0. Derefter ser vi på den situation, hvor y ≠ 0.

Få forklaringer til alle omskrivningerne ved at holde musen over pilene.

y = 0

Vi viser først, at y = 0 er en løsning til differentialligningen. Det gør vi ved at gøre prøve.

Udtrykket på venstre side af lighedstegnet i differentialligningen omskrives:

$\begin{align*} y' &= (0)' \\[0.5em] &= 0\end{align*}$

Udtrykket på højre side af lighedstegnet omskrives:

$\begin{align*} k \cdot y \cdot \left ( M - y \right ) &= k \cdot 0 \cdot \left ( M - 0 \right ) \\[0.5em] &= 0 \end{align*}$

Da de to udtryk på hhv. venstre og højre side af lighedstegnet er ens, så er y = 0 en løsning til differentialligningen.

y ≠ 0

Vi antager nu, at y ≠ 0. Da y ≠ 0, kan ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Allerede medlem? Log ind