Bevis for løsningen til y' = k·y·(M - y)

På denne side finder du et bevis for løsningen til den logistiske ligning. Vi beviser løsningen til ligningen på formen y' = k·y·(- y).

Sætning. Den fuldstændige løsning til y' = k·y·(- y).

Den fuldstændige løsning til den logistiske ligning

0">

er funktionerne på formen

y = \frac{M}{1+c\cdot e^{-kMx}}, \ \ c \in \mathbb{R} 

samt y = 0.

Beviset består af to dele. Først ser vi på den situation, hvor = 0. Derefter ser vi på den situation, hvor y ≠ 0.

Få forklaringer til alle omskrivningerne ved at holde musen over pilene.

y = 0 

Vi viser først, at = 0 er en løsning til differentialligningen. Det gør vi ved at gøre prøve.

Udtrykket på venstre side af lighedstegnet omskrives:

\begin{align*} y' &= (0)' \\ &= 0\end{align*}

Udtrykket på højre side af lighedstegnet omskrives:

\begin{align*} k \cdot y \cdot \left ( M - y \right ) &= k \cdot 0 \cdot \left ( M - 0 \right ) \\ &= 0 \end{align*}

Da de to udtryk på hhv. venstre og højre side af lighedstegnet er ens, så er = 0 en løsning til differentialligningen.

≠ 0 

Vi antager nu, at ≠ 0. Da ≠ 0, kan vi definere en hjælpefunktion u:

u = \frac{M}{y}

Konstanten M er positiv, så ≠ 0.

Vi bestemmer løsningen til differentialligningen y' = k·y·(- y) ved at benytte hjælpefunktionen u. For at kunne bestemme løsningen skal vi bruge følgende to sammenhænge:

u' \cdot y = -u \cdot y'

og

u' = (u-1)'

Vi beviser først de to ovenstående sammenhænge.

  • u'y = -uy'

Vi starter med at omskrive definitionen af u:

 u=\frac{M}{y}    u\cdot y=M

Vi betragter nu ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind