Bevis for løsningen til y' = ky

På denne side beviser vi, hvordan du løser en differentialligning på formen y' = ky. Differentialligningen er en lineær 1. ordens differentialligning.

Sætning. Den fuldstændige løsning til y' = ky.

Den fuldstændige løsning til differentialligningen

y' = ky, \ \ k \in \mathbb{R}

er funktionerne på formen

y = c \cdot e^{k\cdot x}, \ \ c \in \mathbb{R}.

Beviset består af to dele: Først beviser vi, at y = c \cdot e^{k\cdot x} er en løsning til differentialligningen. Derefter beviser vi, at hvis en funktion er en løsning til differentialligningen, så er funktionen på formen y = c \cdot e^{k\cdot x}.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\mathbf{y = c \cdot e^{k\cdot x}} er en løsning

Vi viser først, at en funktion af typen y = c \cdot e^{k\cdot x}, \ c \in \mathbb{R} er en løsning til differentialligningen y' = ky. Det gør vi ved at gøre prøve.

Først ser vi på udtrykket på venstre side af lighedstegnet i differentialligningen, hvor vi har den afledte funktion y'. Vi bestemmer y' ved at differentiere y = c \cdot e^{k\cdot x}.

y'=\left ( c \cdot e^{k \cdot x} \right )'    =c \cdot \left ( e^{k \cdot x} \right )'    =c \cdot k \cdot e^{k \cdot x}

Derefter ser vi på udtrykket ky, som står på højre side af lighedstegnet i differentialligningen. Vi indsætter y = c \cdot e^{k\cdot x} og reducerer:

k\cdot y=k \cdot c \cdot e^{k\cdot x}    =c \cdot k \cdot e^{k\cdot x}

Da resultaterne af de to udregninger er ens, så opfylder y = c \cdot e^{k\cdot x} differentialligningen, dvs. at funktionen er en løsning til diffe...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind