Bevis for løsningen til y' = h(x)g(y)

Her beviser vi, hvordan du kan løse en separabel 1. ordens differentialligning, dvs. en ligning på formen y' = h(x)g(y).

Sætning. Den fuldstændige løsning til en separabel differentialligning.

Hvis h(x) og g(y) er kontinuerte funktioner, og g(y) ≠ 0, så er den fuldstændige løsning til den separable differentialligning

y' = h(x)g(y)

givet ved nedenstående ligning, hvor integralerne skal beregnes og y isoleres:

\int{\frac{1}{g(y)}dy} = \int{h(x)dx}

Vi har antaget, at h(x) er kontinuert. En kontinuert funktion har en stamfunktion, så der findes altså en stamfunktion til h(x).

Vi har også antaget, at g(y) er kontinuert. Da g(y) er kontinuert, så er den inverse funktion 1/g(y) også kontinuert. Der findes derfor en funktion, G(y), der er stamfunktion til 1/g(y).

For at tydeliggøre at y er en funktion af x, så ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind