Bevis for løsningen til y' + ay = b

Her beviser vi, hvordan du løser en lineær 1. ordens differentialligning med konstante koefficienter, dvs. en ligning på formen y' + ay = b.

Sætning. Den fuldstændige løsning til y' + ay = b.

Den fuldstændige løsning til differentialligningen

y' + ay = b, \ \ a,b \in \mathbb{R}, \ a \neq 0

er funktionerne på formen

y = \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}, \ \ c \in \mathbb{R}.

Beviset består af to dele: Først beviser vi, at y = \tfrac{b}{a} + c \cdot e^{-ax} er en løsning til differentialligningen. Derefter beviser vi, at hvis en funktion er en løsning til differentialligningen, så er funktionen på formen y = \tfrac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\mathbf{y = \tfrac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}} er en løsning

Først viser vi, at en funktion på formen y = \tfrac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}, \ c \in \mathbb{R} er en løsning til differentialligningen y' + ay = b. Det gør vi ved at gøre prøve.

Først bestemmer vi y':

y'=\left ( \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax} \right )'    =\left ( \frac{b}{a} \right )' + \left ( c \cdot e^{-ax} \right )'    =0 + \left ( c \cdot e^{-ax} \right )'    =c \cdot \left ( e^{-ax} \right )'    =c \cdot (-a)\cdot e^{-ax}

Vi kan nu bestemme udtrykket på venstre side af lighedstegnet i differentialligningen:

y' + ay=c \cdot \left ( -a \right ) \cdot e^{-ax} + a \cdot \left ( \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax} \right )    =-a \cdot c \cdot e^{-ax} + b + a \cdot c \cdot e^{-ax} \right )    =b

Da udtrykket på venstre side af lighedstegnet er det samme som udtrykket på højre side af lighedstegnet, så er funktionen en løsning til differentialligningen.

Løsningerne til differentialligningen er på formen \mathbf{y = \tfrac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}}

Vi antager, at funktionen f er en løsning til differe...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind