[37]

Separable differentialligninger

Indhold

Hvornår er en differentialligning separabel?
Løsning ved separation af de variable

Hvornår er en differentialligning separabel?

En 1. ordens differentialligning kaldes separabel, hvis den er på formen

y' = h(x)g(y)

Funktionerne g og h skal være kontinuerte, og g(y) ≠ 0.

Du kan se et eksempel på en separabel differentialligning herunder. I eksemplet er h(x) = x2 og g(y) = ey.

y' = x2 · ey

At separere betyder at adskille. Separable differentialligninger kaldes separable, fordi vi kan adskille de led, der indeholder y, og de led, der eksplicit indeholder x, så de er på hver sin side af lighedstegnet. Her omskriver vi eksemplet fra før ved at dele med ey på begge sider af lighedstegnet:

$\begin{array}{lrcl} & y' & = & x^2 \cdot e^y \\ \Downarrow & & & \\ & y' \cdot \dfrac{1}{e^y} & = & x^2 \\ \end{array}$

Løsning ved separation af de variable

Vi kan bestemme den fuldstændige løsning til en separabel differentialligning med metoden separation af de variable:

Sætning. Den fuldstændige løsning til en separabel differentialligning.

Hvis h(x) og g(y) er kontinuerte funktioner, og g(y) ≠ 0, så er den fuldstændige løsning til den separable differential

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind