Logistisk vækst

Denne side handler om den logistiske ligning. Vi beskriver bl.a., hvordan du løser den logistiske ligning og giver en række eksempler på dette. Vi kommer også ind på, hvordan den logistiske ligning kan indgå i vækstmodeller.

Den logistiske ligning

Nedenstående differentialligning kaldes den logistiske ligning:

y' = k \cdot y \cdot (M-y), \ \ k,M>0

Du kan se et eksempel på en logistisk ligning herunder:

y' = 0,06 \cdot y \cdot (347-y)

I eksemplet er = 0,06 og = 347.

Sætning. Løsninger til differentialligningen y' = k·y·(- y).

Funktionerne = 0 og

y = \frac{M}{1+c\cdot e^{-kMx}}, \ \ c \ge 0, \ x \in \mathbb{R}

er løsninger til den logistiske ligning

y' = k \cdot y \cdot (M-y), \ \ k,M > 0

Den logistiske ligning kan blandt andet bruges i modeller, der beskriver udviklingen i antallet af individer i en population. I den sammenhæng er det typisk kun interessant at se på de løsninger, der er ikke-negative og voksende, hvilket er funktionerne

y = \frac{M}{1+c \cdot e^{-kMx}}, \ \ c \ge 0, \ x \in \mathbb{R}

Vi vælger derfor kun at se på disse løsninger. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er = 0 og

y = \frac{M}{1+c \cdot e^{-kMx}}, \ \ c \in \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R}

Den logistiske ligning kan skrives på to måder

Den logistiske ligning kan noteres på flere måder. Typisk anvendes en af de to neden...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind