y' = ky

På denne side beskriver vi, hvordan du kan bestemme den fuldstændige løsning til differentialligninger på formen y' = ky. Vi gennemgår også tre eksempler, hvor vi bestemmer den fuldstændige og to partikulære løsninger til differentialligninger på formen y' = ky.

Den fuldstændige løsning til y' = ky

I dette afsnit ser vi på lineære 1. ordens differentialligninger, hvor g er konstant og h er 0, dvs. g(x) = a, hvor a er en konstant, og h(x) = 0. Differentialligninger af denne type er på formen

y' + ay = 0

Hvis vi definerer en ny konstant k = -a, så kan vi lave nedenstående omskrivning af differentialligningen:

\begin{align*} y' + ay &= y' - (-ay) \\ & = y' = -ky \end{align}

Vi lægger nu ky til på begge sider:

y' = ky

Differentialligningen y' + ay = 0 noteres typisk y' = ky.

Du kan se et eksempel på denne type differentialligning herunder:

y' = -7y

I eksemplet er k = -7.

Sætning. Den fuldstændige løsning til differentialligningen y' = ky.

Den fuldstændige løsning til differentialligningen

y' = ky, \ \ k \in \mathbb{R}

er funktionerne

y = c \cdot e^{kx}, \ \ c \in \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R}

Differentialligninger af denne type kan bl.a. benyttes i modeller, der beskriver eksponentiel vækst, da løsningerne er eksponentielle funktioner.

Eksempel: Den fuldstændige løsning til y

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind