Lineære differentialligninger

En lineær 1. ordens differentialligning er på formen

y' + g(x)\cdot y = h(x)

Funktionerne g og h er kontinuerte funktioner, der kun afhænger af x.

Herunder er tre eksempler på lineære 1. ordens differentialligninger:

\begin{align*} y' + 2xy &= e^{x} \\ y'+3y &= x^2 \\ y'+xy &= 1+x \\ \end{align}

I dette kapitel gennemgår vi, hvordan du kan løse en lineær 1. ordens differentialligning. Løsningerne bestemmes med en formel kaldet Panserformlen:

y = e^{-G(x)}\cdot \left ( \int e^{G(x)}h(x)dx \right )

I nogle tilfælde hvor g eller h er konstant, kan vi løse differentialligningen på en enklere måde. Her i kompendiet gennemgår vi det generelle tilfælde og tre tilfælde, hvor g eller h er konstant. Du kan se en oversigt over de lineære 1. ordens differentialligninger, vi gennemgår, i tabellen herunder.

DifferentialligningBeskrivelseLøsning
y' + g(x) \cdot y = h(x)Den generelle lineære 1. ordens differentialligning.y = e^{-G(x)}\cdot \left ( \int e^{G(x)}h(x)dx \right )
y' = h(x)Funktionen g er 0.y = \int h(x) dx
y' = kyFunktionen g er konstant, og funktionen h er 0.y = c \cdot e^{kx}
y' + ay = bFunktionerne g og h er konstante.y = \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}

 

Her får du et uddrag fra siden y' + ay = b:

Nedenstående differentialligning er en lineær 1. ordens differentialligning, hvor g(x)=2x og h(x) = e^{-x^2}.

y' + 2xy = e^{-x^2}

Vi benytter Panserformlen til at bestemme den fuldstændige løsning.

Først integrerer vi g, så vi kan finde en stamfunktion G:

\begin{align*} \int g(x) dx &= \int 2x dx \\ &= x^2+k \end{align}

Vi vælger stamfunktionen G(x) = x2, dvs. den funktion, hvor k = 0. Vi kan nu bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen:

\begin{align*} y &= e^{-x^2} \cdot \int{e^{x^2}}\cdot e^{-x^2}dx \\ &= e^{-x^2}\cdot \int{e^{x^2-x^2}}dx \\ &= e^{-x^2}\cdot \int{e^0}dx \\ &= e^{-x^2} \cdot \int{1}dx \\ &= e^{-x^2}(x+c) \end{align}

Den fuldstændige løsning til differentialligningen er funktionerne

y= e^{-x^2}(x+c), \ \ c\in\mathbb{R}, x\in\mathbb{R}

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind