Lineære differentialligninger

En lineær 1. ordens differentialligning er på formen

y' + g(x) · y = h(x)

Funktionerne g og h er kontinuerte funktioner, der kun afhænger af x.

Herunder er tre eksempler på lineære 1. ordens differentialligninger:

$\begin{align*} y' + 2xy &= e^{x} \\[1em] y'+3y &= x^2 \\[1em] y'+xy &= 1+x \\ \end{align}$

På de næste sider gennemgår vi, hvordan du kan løse en lineær 1. ordens differentialligning. Løsningerne bestemmes med en formel kaldet Panserformlen:

$y = e^{-G(x)}\cdot \left ( \int e^{G(x)}h(x)dx \right )$

I nogle tilfælde hvor g eller h er konstant, kan vi løse differentialligningen på en enklere måde. Her i kompendiet gennemgår vi det generelle tilfælde og tre tilfælde, hvor g eller h er konstant. Du kan se en oversigt over de lineære 1. ordens differentialligninger, vi gennemgår, i tabellen herunder.

Differentialligning	Beskrivelse	Løsning
y' + g(x) · y = h(x)	Den generelle lineære 1. ordens differentialligning.	$y = e^{-G(x)}\cdot \left ( \int e^{G(x)}h(x)dx \right )$
y' = h(x)	Funktionen g er 0.	$y = \int h(x) dx$
y' = ky	Funktionen g er konstant, og funktionen h er 0.	$y = c \cdot e^{kx}$
y' = b - ay	Funktionerne g og h er konstante.	$y = \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}$