1. ordens differentialligninger

En differentialligning er af 1. orden, hvis det kun er den ukendte funktions førsteordens afledte, der indgår. Dvs. at hvis den ukendte funktion er y, så er det kun dens afledte funktion y', der indgår i differentialligningen og ikke nogen afledte af højere orden (fx y'').

I dette kapitel omtaler vi separable differentialligningerlineære differentialligninger og den logistiske ligning.

Her får du et uddrag fra siden om separable differentialligninger:

I dette eksempel kigger vi på nedenstående differentialligning:

y'=3x^2y, \ \ y>0

Her er h(x) = 3x2 og g(y) = y.

Vi bestemmer integralerne i ligningen

\int \frac{1}{y}\, dy=\int 3x^2\, dx

Først bestemmer vi integralet på venstre side:

\int \frac{1}{y}\, dy = \ln(y)

Derefter bestemmer vi integralet på højre side:

\int 3x^2\, dx = x^3 + k

Her har vi indsat integrationskonstanten k.

Samlet set har vi, at

\begin{align*} & \ \int \frac{1}{y}\,dy = \int 3x^2 \,dx \\ \Downarrow & \\ & \ \ln(y) = x^3 + k \end{align}

Til sidst isolerer vi y ved at benytte, at ey er den omvendte funktion til ln⁡(y):

\begin{array}{cl} & \ln(y) = x^3+k \\ \Downarrow & \\ & \begin{align*}e^{\ln(y)} &= e^{x^3 +k} \\ & = e^{x^3} \cdot e^{k} \end{align} \\ \Downarrow & \\ & \begin{align*}y &= e^{x^3}\cdot e^{k} \\ &= e^{x^3}\cdot c \end{align} \\ \end{array}

I den sidste udregning har vi erstattet konstanten ek med konstanten c.

Løsningerne er altså på formen...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind