Differential­ligninger

Her finder du vores kompendium om differentialligninger. Emnet differentialligninger er en del af Matematik A.

I kompendiet finder du en gennemgang af begreber og metoder inden for emnet Differentialligninger, en lang række eksempler, hvor vi tager udgangspunkt i konkrete differentialligninger, samt en detaljeret gennemgang af relevante beviser.

Du kan bruge kompendiet til at læse op til eksamen, som hjælp til at skrive din egen opgave om emnet eller til at få styr på begreberne, metoderne og beviserne.

Kompendiets opbygning

På kompendiets første side kan du få svar på spørgsmålet Hvad er en differentialligning? Derefter beskriver vi, hvordan vi kategoriserer differentialligninger efter deres orden, og hvad vi mener, når vi taler om løsninger til en differentialligning.

På siden At gøre prøve gennemgår vi, hvordan vi kan undersøge om en funktion er en løsning til en given differentialligning.

I kapitlet Fuldstændig løsning og partikulær løsning gennemgår vi, hvad forskellen er på en fuldstændig og en partikulær løsning. Vi introducerer også begrebet Begyndelsesbetingelse.

De næste kapitler indeholder en beskrivelse af, hvordan du kan bestemme tangenthældningen og en ligning for tangenten eller væksthastigheden for en funktion, hvis funktionen er en løsning til en given differentialligning.

Kapitlet Grafiske metoder indeholder en introduktion til begreberne "linjeelement" og "hældningsfelt". Hældningsfelter kan bruges til at få en idé om, hvordan løsningskurverne til en 1. ordens differentialligning ser ud.

På siden Numerisk løsning beskriver vi, hvad en numerisk løsning er. Du kan finde to eksempler på metoder, der kan bruges til at bestemme en numerisk løsning, på siderne Eulers metode og Runge-Kutta-metoden.

Kapitlet 1. ordens differentialligninger handler om forskellige typer af differentialligninger af 1. orden og deres løsninger. Vi gennemgår bl.a., hvordan du kan bestemme en løsning til separable differentialligninger, lineære differentialligninger og den logistiske ligning, der beskriver logistisk vækst.

I det efterfølgende kapitel om 2. ordens differentialligninger gennemgår vi, hvordan du kan løse differentialligninger på formen y'' = h(x).

Vi beviser løsningerne til forskellige typer af differentialligninger på siden Beviser. Beviserne indeholder detaljerede forklaringer til alle udregningerne.

Siden Opstil en differentialligning indeholder nogle råd til, hvordan du opstiller en differentialligning samt et eksempel, hvor vi opstiller en differentialligning ud fra en beskrivelse af en situation.

Hvis du går på HHX, skal du formentlig skrive en emneopgave om differentialligninger. Du kan finde hjælp til at skrive din opgave på siden Emneopgave.

Kapitlet Noter kan bruges til at få et overblik over emnet, da det indeholder en kort opsummering af vigtige begreber og metoder. Du kan også bruge kapitlet, hvis du gerne vil have genopfrisket nogle begreber eller metoder.

Kompendiets næstsidste kapitel handler om eksamen. Her får du nogle råd om, hvordan du kan forberede dig på emnet Differentialligninger inden mundtlig eller skriftlig eksamen. Du kan også se et eksempel på en disposition.

Sidst i kompendiet finder du kapitlet SRP om differentialligninger. Dette kapitel kan du bruge, hvis du skal skrive en større opgave om differentialligninger eller differentialligningsmodeller. Kapitlet indeholder en introduktion til begreberne Kompartmentmodeller og Koblede differentialligninger samt to eksempler på differentialligningsmodeller: Lanchesters model og SIR-modellen.

Her får du et uddrag fra siden Logistisk vækst:

En bestemt art fisk sættes ud i en stor sø. Antallet af fisk i søen antages derefter at kunne beskrives ved funktionen f(t), hvor f er antallet af fisk og t er tiden målt i måneder, efter at fiskene blev sat ud. Det antages, at der er tale om logistisk vækst, dvs. at f opfylder differentialligningen

y' = ky(M-y)

Der sættes 30 fisk ud i søen. En optælling efter 4 måneder viser, at der nu er 74 fisk. Søens bærekapacitet for denne type fisk er på 260 fisk.

Vi vil bestemme forskriften for funktionen f, der kan beskrive antallet af fisk i søen som en funktion af tiden. Da f opfylder den logistiske ligning, så er f på formen

f(t) = \frac{M}{1+c\cdot e^{-k\cdot M \cdot t}}, \ \ c \ge 0, \ t \ge 0

Vi får oplyst, at...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind

Differentialligninger

[0]
Der er endnu ingen bedømmelser af dette produkt.