Sandsynlighedsfordeling og binomialsandsynligheder

Indhold

Binomialkoefficient
- Eksempel
Sandsynligheder i en binomialfordeling
- Eksempel: Sandsynligheden for at få 4 krone i 5 kast
- Bestem sandsynlighed i et CAS-væktøj
Sandsynlighedsfordeling
- Eksempel på sandsynlighedsfordeling givet i en tabel og et søjlediagram
Regneregler
- Eksempel på brug af regneregler
Opgaver om binomialfordelingen

Binomialkoefficient

Binomialkoefficienten er K(n,r):

$K(n,r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}, \quad 0 \leq r \leq n$

n! udtales "n fakultet" og beregnes således: n! = n · (n - 1) ··· 2 · 1.

K(n,r) kan også noteres

$\binom{n}{r}$

Bemærk, at binomialkoefficienten er et tal og ikke en vektor, selv om notationen ligner vektornotation.

Vi benytter bl.a. binomialkoefficienten til at bestemme sandsynligheder i en binomialfordeling, hvilket du kan læse mere om i næste afsnit.

Eksempel

Vi bestemmer K(8,3):

$\begin{align*} K(8,3) &= \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} \\[1em] &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} \\[1em] &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\[1em] &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\[1em] &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} \\[1em] &= 8 \cdot 7 \\[1em] &= 56 \end{align}$

Sandsynligheder i en binomialfordeling

Sætning. Sandsynlighed i binomialfordelingen.

Når X ~ b(n,p), så er sandsynligheden for, at X antager værdien r, givet ved

$P(X = r) = K(n,r) \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}, \quad 0 \leq r \leq n$

Sandsynligheden for, at X antager en bestemt værdi r, kaldes en punktsandsynlighed.

Du kan finde vores bevis for sætningen på siden Bevis.

Eksempel: Sandsynligheden for at få 4 krone i 5 kast

Vi slår plat eller krone med en ærlig m...