Vinkler

På siderne om vinkler, kan du læse om vinkler mellem linjer og planer:

Her er et uddrag af siden Vinkel mellem linje og plan:

Planen β og linjen m er givet ved følgende parameterfremstillinger:

$\begin{align*} &\beta: &\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R} \\[1em] &m: &\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad u \in \mathbb{R} \end{align}$

Vi vil bestemme vinklen v mellem planen og linjen.

Først skal vi bestemme en normalvektor for planen. Vi kan ikke aflæse en normalvektor i planens parameterfremstilling, men vi kan aflæse to retningsvektorer:

$\begin{align*} \vec{p} &= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\[0.5em] \vec{q} &= \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\end{align}$

Krydsproduktet af retningsvektorerne $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er en normalvektor for planen, så vi bestemmer krydsproduktet:

$\begin{align*} \vec{n_{\beta}} &= \vec{p} \times \vec{q} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 13 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align}$