Skalarprodukt, vinkel og projektion
Her kan du læse om vektorer i rummet. Vi har også lavet et kompendium om Vektorer i planen.
Skalarprodukt (prikprodukt)
Definition. Skalarprodukt.
Skalarproduktet af to vektorer
![\begin{align*} &\vec{a} = \left ( \begin{matrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{matrix} \right ) \\[0.5em] &\vec{b} = \left ( \begin{matrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{matrix} \right ) \\[0.5em] \end{align*}](/media/webbooks/preview/3396/43630/images/equations/sfgwmqjwxlinsmim8fuq9g==.svg)
er givet ved
Skalarproduktet kaldes også for prikproduktet.
Eksempel: Bestem skalarprodukt
To vektorer er givet ved
![\begin{align*} &\vec{a} = \left ( {\color{Magenta}\begin{matrix} 2\\-3\\-1 \end{matrix}} \right ) \\[0.5em] &\vec{b} = \left ( {\color{NavyBlue} \begin{matrix} -2\\0\\2 \end{matrix}} \right ) \\[0.5em] \end{align*}](/media/webbooks/preview/3396/43630/images/equations/gpc8r6ulfdfi77ctug6atw==.svg)
Vi bestemmer skalarproduktet:
![\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= {\color{Magenta}2} \cdot {\color{NavyBlue}(-2)} + {\color{Magenta}(-3)} \cdot {\color{NavyBlue}0} + {\color{Magenta}(-1)}\cdot {\color{NavyBlue}2} \\[0.5em] &= -4 + 0 - 2 \\[0.5em] &= - 6 \end{align}](/media/webbooks/preview/3396/43630/images/equations/9uq7lzvnyk5ew_cj_bwazw==.svg)
Skalarproduktet er -6.
Vinkel mellem vektorer
Vinklen v mellem to egentlige vektorer i rummet, 
og 
, bestemmes på samme måde, som vinklen mellem to vektorer i planen:
Sætning. Vinkel mellem to vektorer.
Vinklen v mellem vektorerne 
og 
opfylder, at
Sammenhængen mellem skalarproduktets fortegn og om vinklen er spids, ret eller stump gælder også for vektorer i rummet:
Sætning. Spids, ret eller stump vinkel.
Der er følgende sammenhæng mellem skalarproduktet af to vektorer og og vinklen v mellem vektorerne:
0 & \Leftrightarrow & \cos(v) > 0 & \Leftrightarro
