Krydsprodukt

Indhold

Hvad er krydsproduktet?
- Eksempel: Bestem krydsproduktet
Krydsproduktet står vinkelret på vektorerne
Vektorer er parallelle, hvis krydsproduktet er nulvektoren
- Eksempel: Undersøg, om vektorerne er parallelle
- Eksempel: Vis, at vektorerne ikke er parallelle

Hvad er krydsproduktet?

Definition. Krydsprodukt (vektorprodukt).

Krydsproduktet af to vektorer

$\begin{align*} &\vec{a} = \left ( \begin{matrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{matrix} \right ) \\[0.5em] &\vec{b} = \left ( \begin{matrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{matrix} \right ) \\[0.5em] \end{align*}$

er givet ved

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2\\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$

Krydsproduktet kaldes også for vektorproduktet.

Læg mærke til, at krydsproduktet er en vektor.

Figuren herover viser to vektorer og krydsproduktet af vektorerne.

To egentlige vektorer i rummet, $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , udspænder et parallelogram. Længden af krydsproduktet er netop arealet A af dette parallelogram:

$A = | \vec{a} \times \vec{b} |$

Når vi bestemmer et krydsprodukt, så er rækkefølgen af vektorerne ikke ligegyldig. Der gælder nemlig, at

$\vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b})$

Du kan bruge fingrene på højre hånd til at afgøre krydsproduktets retning:

Lad pegefingeren pege i retning af $\vec{a}$ .
Lad langefingeren pege i retning af $\vec{b}$ .
Stræk tommelfingeren, så den står vinkelret på pegefingeren og langefingeren. Tommelfingeren peger i retnin

...