Skæring mellem linjer og planer

Skæringspunkt mellem to linjer

Vi kan bestemme skæringspunktet mellem to linjer ved at opstille et ligningssystem bestående af linjernes parameterfremstillinger og løse ligningssystemet.

Hvis ligningssystemet ikke har en løsning, så skærer linjerne ikke hinanden, dvs. at linjerne enten er parallelle eller vindskæve.

Eksempel: Bestem skæringspunkt mellem to linjer

To linjer, l og m, er givet ved

\begin{align*} &\l: &\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} \\[1em] &m: &\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R} \end{align}

Vi bestemmer skæringspunktet mellem linjerne ved at løse ligningssystemet bestående af linjernes parameterfremstillinger i et CAS-værktøj.

I nogle CAS-værktøjer er det nødvendigt at omskrive parameterfremstillingerne til 6 ligninger:

\begin{align*} x &= - 1 + t \cdot 1 \\[0.5em] y &= 6 + t \cdot (-2) \\[0.5em] z &= 15 + t \cdot (-6) \\[1em] x &= - 8 + s \cdot (-3) \\[0.5em] y &= 5 + s \cdot 1 \\[0.5em] z &= 0 + s \cdot (-1) \end{align}

Vi løser ligningssystemet og får løsningen

s = -3   ∧   t = 2   ∧   x = 1   ∧   y = 2   ∧   z = 3

Skæringspunktet mellem linjerne l og m har koordinaterne (1,2,3).

Skæringspunkt mellem linj

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind