Planer

På siderne om planer kan du læse om

Her er et uddrag af siden Planens parameterfremstilling:

Punkterne A(0,1,3), B(-1,1,0) og C(2,-2,4) ligger i planen β. Vi vil bestemme en parameterfremstilling for β.

Da punkterne A, B og C ligger i planen β, så ligger $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ også i planen. Hvis de to vektorer ikke er parallelle, så udspænder de derfor planen.

Vi bestemmer $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ :

$\begin{align*} \overrightarrow{AB} &= \begin{pmatrix} -1 - 0\\1 - 1 \\0 - 3 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} -1 \\0 \\-3 \end{pmatrix} \\[1em] \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} 2 - 0\\-2 - 1 \\4 - 3 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} 2 \\-3 \\1 \end{pmatrix} \end{align}$

Derefter undersøger vi, om vektorerne er parallelle, ved at bestemme krydsproduktet:

$\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ - 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \\[1em] &= \left ( \begin{matrix} - 9\\ -5 \\ 3 \end{matrix} \right ) \end{align}$

Da krydsproduktet af $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ ikke er nulvektoren, så er vektorerne ikke parallelle. Da $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ ikke er parallelle, så udspænder de planen β.

Vi bestemmer nu en parameterfremstilling for planen β ved at bruge $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ . Vi kan bruge punktet A, B eller C til at opstille en parameterfremstilling. Vi vælger punkt A og får følgende parameterfremstilling:

...