Linjens parameterfremstilling

Indhold

Retningsvektor
Parameterfremstilling for en linje i rummet
- Eksempel: Bestem parameterfremstilling ud fra punkt og retningsvektor
- Eksempel: Bestem parameterfremstilling ud fra to punkter
Punkt på linje
Vejledning til opgaver om linjens parameterfremstilling

Retningsvektor

En vektor, der er parallel med en linje, kaldes en retningsvektor for linjen. At $\vec{r}$ er parallel med linjen l, betyder altså, at $\vec{r}$ er en retningsvektor for l.

Der findes uendeligt mange vektorer, der er parallelle med en given linje. Enhver linje har altså uendeligt mange retningsvektorer. Vi taler derfor ikke om, at en vektor er retningsvektoren for en linje, men derimod en retningsvektor for linjen.

Parameterfremstilling for en linje i rummet

Linjer i rummet beskrives ved parameterfremstillinger. Vi udvider parameterfremstillingen for en linje fra to dimensioner til tre dimensioner:

Sætning. Linjens parameterfremstilling.

Linjen, der går gennem punktet P₀(x₀,y₀,z₀) og har retningsvektoren

$\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3 \end{pmatrix}$

er givet ved parameterfremstillingen

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

I parameterfremstillingen indgår en variabel, t. Den variable kaldes parameteren. Vi benytter typisk t som parameter, men vi kan også vælge fx s.

Ethvert punkt og enhver retningsvektor for en linje kan bruges til at bestemme en ...