[2]

Bevis for linjens parameterfremstilling

Sætning. Linjens parameterfremstilling.

Linjen, der går gennem punktet P0(x0,y0,z0) og har retningsvektoren

$\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3 \end{pmatrix},$

er givet ved parameterfremstillingen

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

Du kan læse mere om parameterfremstillinger for linjer og se en række eksempler på siden Linjens parameterfremstilling.

Bevis

Vi lader l være linjen, der går gennem punktet P0(x0,y0,z0) og har retningsvektoren

$\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3 \end{pmatrix}$

På ovenstående figur har vi tegnet l sammen med P0 og $\vec{r}$ .

Vi lader P(x,y,z) være et vilkårligt punkt på linjen l. Vektoren mellem punkterne P0 og P er $\overrightarrow{P_{0}P}$ .

På ovenstående figur har vi tilføjet punktet P sammen med vektoren $\overrightarrow{P_{0}P}$ og stedvektorerne $\overrightarrow{OP_{0}}$ og $\overrightarrow{OP}$ .