STX Matematik A NET 2015 13. august - Delprøven med alle hjælpemidler
- STX 3.g
- Matematik A
- 12
- 29
- 3754
Vejledende besvarelse: STX Matematik A NET 2015 13. august - Delprøven med alle hjælpemidler
Her kan du se Studienets egen vejledende besvarelse af opgaverne med alle hjælpemidler fra den digitale matematikeksamen til Matematik A på STX, som blev brugt til eksamen torsdag den 13. august 2015. Denne delprøve kan også hedde med hjælpemidler, fordi man må bruge netadgang her.
Studienets besvarelse består af to forskellige eksempler på den samme eksamen, men der er brugt forskellige CAS-værktøjer. WordMat er blevet brugt til det første eksempel, og Maple er blevet brugt til det andet eksempel. Der er både brugt WordMat og Maple i eksempelbesvarelsen, så du kan vælge det CAS-værktøj, som du foretrækker.
Løsningerne til delprøven uden hjælpemidler kan du finde her STX Matematik A NET 2015 13. august - Delprøven med autoriseret formelsamling.
Studienets kommentar
Du kan finde trin-for-trin-vejledninger til at løse nogle af opgaverne med hjælpemidler i vores vejledning til Matematik med hjælpemidler:
Opg. 10a: Opgaver om eksponentiel regression og Bestem fordoblings- eller halveringskonstanten
Opg. 10b: Bestem skæringspunkterne mellem to grafer
Opg. 12b: Bestem vinkler og sidelængder i en trekant
Opg. 15a: Bestem en partikulær løsning til en differentialligning
Indhold
Opgave 10:
a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne i modellen, og bestem fordoblingstiden.
b) Benyt modellen til at forudsige, hvornår BNP pr. indbygger i Sydkorea overstiger BNP pr. indbygger i USA.
Opgave 11:
a) Bestem Taylorpolynomiet T af grad 2 med udviklingspunkt i x_0=0, og tegn graferne for f og T i samme koordinatsystem. Kommentér resultatet.
Opgave 12:
a) Bestem længden af AB, og bestem arealet af trekant ABC.
b) Bestem længden af BH, og bestem længden af AH.
Opgave 13:
a) Gør rede for, at kuglen K har radius 13 og centrum i (7, -4,13).
b) Vis, at α er en tangentplan til K, og bestem koordinatsættet til røringspunktet mellem α og K.
Opgave 14:
a) Udfyld rækketotaler og kolonnetotaler i nedenstående krydstabel, og bestem antallet af frihedsgrader.
b) Udfyld resten af krydstabellen, og bestem den mindste værdi af x, så analyseinstituttet kan konkludere, at nulhypotesen kan forkastes.
Opgave 15:
a) Bestem en forskrift for grydens temperatur som funktion af tiden.
b) Benyt modellen til at bestemme, hvor længe grydens temperatur er om at falde fra 60°C til 20°C.
Opgave 16:
a) Bestem populationens samlede vægt for hver af de efterfølgende 6 uger, og lav et punktplot over udviklingen.
b) Bestem p_ligevægt, og benyt modellen til at bestemme, hvor mange uger der går, før populationens samlede vægt overstiger 150 tons.
Uddrag
Her er et uddrag af opgave 13.b
Hvis planen α er tangentplan til kuglen K, vil afstanden fra kuglens centrum til planen være lig med 13 (radius af kuglen).
Det undersøges nu, om dette udsagn er sandt.
Koordinaterne for centrum defineres nu:
x_1≔7
y_1≔-4
z_1≔13
Planens ligning omskrives, så den er på formen ax+by+cz+d=0:
α: 3x-4y+12z-24=0
Koefficienterne fra planens ligning defineres nu:
a≔3
b≔-4
c≔12
d≔-24
Nu kan afstanden beregnes i WordMat vha. nedenstående formel:
dist(C,α)=|a·x_1+b·y_1+c·z_1+d|/√(a^2+b^2+c^2 )=13
Da afstanden er lig med radius, er planen en tangentplan til kuglen.
Af den grund vil normalvektoren til planen α være retningsvektor for den linje l, som går gennem både centrum og røringspunkt. Røringspunktet kan således findes som skæringspunktet mellem planen α og den linje l, som går gennem centrum, og hvis retningsvektor er normalvektor til planen α.
Normalvektoren til α (og dermed retningsvektor for l) aflæses direkte af planens ligning:
(n_α )=(a b c)=(3 -4 12)
Parameterfremstillingen for den linje, som går gennem punktet P_0 (x_0,y_0,z_0) og har retningsvektor r=(r_1 r_2 r_3) er givet ved:
(x y z)=(x_0 y_0 z_0)+t·(r_1 r_2 r_3)
Parameterfremstillingen for linjen l kan nu opskrives vha. (n_α ) og centrum for kuglen:
l: (x y z)=(7 -4 13)+t·(3 -4 12)
Skæringspunktet mellem l og α findes nu ved at substituere koordinatfunktionerne fra parameterfremstillingen for l ind i ligningen for α og løse ligningen mht. t:
3(7+t·3)-4(-4+t·(-4))+12(13+t·12)=24
⇕
t=-1
Parameteren t=-1 indsættes nu i parameterfremstillingen for l, hvorefter stedvektoren til røringspunktet beregnes... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind
