SRP om sandhedsbegrebet i Matematik A og Dansk A

Uddrag

Indledning
Ofte bryster matematikken sig af at være universel og absolut. Dette skyldes først og fremmest matematikkens rigide format, som frem for alt er eksakt og utvetydigt. Faktisk er det matematiske paradigme historisk blevet tilskrevet en næsten guddommelig dimension. En historisk figur der vidner om dette, er Galileo Galilei (1564-1642), der sagde: ”Mål alt hvad der kan måles. Og det der ikke kan måles gør det måleligt.” Den matematisk kvantitative metode blev hyldet, fordi viste sig utrolig anvendelig, netop fordi tal i sig selv ikke bærer præg af subjektivisme. Galilei's formalistiske projekts yderste konsekvens blev udmøntet af filosof og matematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Hans ideal var en almen logik, som han kaldte scientia universalis. Leibniz var af den opfattelse, at alt kunne formaliseres, og som han selv formulerede det: ”when there are disputes among persons, we can simply say: Let us calculate [calculemus], without further ado, to see who is right.” I hans optik er det altså muligt at implementere det matematiske paradigme i sproget, således at alle beslutninger vil bero på en matematisk slutning. Jeg vil i det følgende vise, at Leibniz' drøm er utopi, og i bund og grund er en misforståelse af sproget og begrebet sandhed. For at gøre dette, er det først nødvendigt at forstå logik i matematisk regi.

Logikalgebra
Logikalgebraen er en udsagnslogik , hvor et udtryk kan kun være sandt eller falsk. Udsagnslogik gør det muligt at forenkle udsagn og systematisere dem således, at intet subjektivt vil præge udkommet. Præcision er derfor af uhyre vigtighed, da der ikke må eksistere nogen tvetydighed i det, man udtrykker. Der eksisterer derfor ingen grad af sandhedsgraduering. For at forstå hvordan Boolesk matematik tager sig ud, er det ...

Boolesk algebra
George Boole (1815- 1864) var en filosof og matematiker. Boole indførte operatorer, så det blev muligt at manipulere med de logiske udtryk. Man kan sige, at det var et forsøg på at udleve Leibniz' drøm (husk at referere). Den Booleske algebra tager udgangspunkt i ovenstående, men bruger nogle andre symboler:...

En videreudvikling af logikken
Det blev vist, at Boolesk matematik ikke kunne udtrykke semantiske sammenhænge mellem sætninger. Dette skyldes, at Boolesk matematik er første-ordens logik – altså, at der kun optræder konstanter og variabler. En videreudvikling af denne er anden-ordens logik. I denne kan variablerne antage mængder som værdier. På den måde kan anden-ordens logik faktisk udtrykke al kendt matematik. Denne form for logik blev indført af Gottlob Frege (1848-1925). Han indførte de ...

Hvad er matematik?
Ordbogen definerer matematik således: ”videnskab om tal, figurer og mængder og de beregninger der kan udføres på dem” Den brede definition kommer som et resultat af måden, vi bruger matematik på – nemlig overalt. Det er svært at ”pege” på matematik, idet den er en indgroet del af samfundet. Matematik er i højere grad karakteriseret ved dens metode end ved dens område. Matematik er komplicerede forhold i formatet sandt eller falsk – af denne grund fascineres nogle, mens andre synes at ...

Metamatematik
Tidligere spurgte jeg ”Hvad er matematik?”. Gennemgangen af bevistyperne godtgjorde, om end på et overfladisk niveau, for hvilke logiske slutningsregler man accepterer i den matematiske sfære. Men spørgsmålet var todelt, aksiomernes grundlag mangler stadig. For at forstå dette, er det også nødvendigt se på de tanker, der ligger til grund for matematikken. Hvordan man betragter matematik, har betydning for hvilke aksiomer, man kan acceptere. Det overordnede spørgsmål må være:...

Den matematiske grundlagskrise
Denne – om end teoretiske - diskussion skal ses i lyset den opdagelse Bertrand Russell (1872-1970) gjorde omkring mængdelæren fremsat i 1901: M={├ A┤|A∉A} Altså en mængde M der er defineret som mængden af alle de mængder, der ikke er element i sig selv. Er M da element i sig selv? Dersom M er element i sig selv, kan M ikke være element i sig selv, og dersom ...

Intuitionisme
En eksponent for intuitionismen var matematikeren L. E. J. Brouwer (1881-1966). Hans projekt var at konstruere et nyt fundament for matematikken – ikke at forklare det gamle. Brouwer afviste, at matematikken eksisterede på et metafysik plan, i stedet er matematik genereret på et mentalt plan – altså er intuitionisterne ontologiske anti-realister. Matematik har derfor ingen sandhedsværdi i sig selv. Som et...

Er det muligt at give matematikken et sikkert grundlag?
Hvad der dog for alvor skulle vise sig at kuldsejle ”jagten” på sandheden, var beviset fremsat af Matematikeren Kurt Gödel (1906-1978): ufuldstændighedssætningen. Gödel havde tidligere vist, at første-ordens logik, altså den form for logik hvor variablerne ikke kan antage mængder, kan bevises ud fra nogle simple aksiomer. Men i 1931 beviste han, at ...

Erasmus Montanus
Erasmus Montanus er et skuespil forfattet af Ludvig Holberg (1684-1754). Stykket er skrevet i 1723, men blev først opført i Danmark i 1751. Selvom den nykritiske metode fordrer, at et værk forstås autonomt, mener jeg, at man ikke kan forstå værket til fulde, dersom man ikke forstår den epoke, som værket er skrevet i, nemlig Oplysningstiden. Oplysningstiden strækker sig fra ca. Fra 1690 til ca. 1780 . I centrum var menneskets rationelle formåen og kunnen. Man skulle betvivle og udfordre autoriteter... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind