SRP om koblede harmoniske svingninger i Matematik A og Fysik A

  • STX 3.g
  • SRP (Matematik A, Fysik A)
  • 12
  • 38
  • 6840
  • PDF

SRP om koblede harmoniske svingninger i Matematik A og Fysik A

Studieretningsprojekt (SRP) om koblede harmoniske svingninger og anden ordens differentialligninger i fagene Matematik A og Fysik A. De koblede differentialligninger løses ved hjælp af dekobling ved hjælp af matricer.

Opgaveformulering

- Bevis løsningsformlen for differentialligningen y''=c·y, hvor c<0 .
- -Opstil differentialligninger, der beskriver bevægelsen på en luftpudebane af et system bestående af to fjederforbundne vogne, som er udspændt mellem to fjedre.
- Gør rede for, hvordan ligningerne kan løses og løs dem i det specielle tilfælde, hvor de to vogne har samme masse og de to udspændende fjedre har samme fjederkonstant.
- Undersøg bevægelsen eksperimentelt og sammenlign med teorien.

Studienets kommentar

Du kan også få hjælp til dit Studieretningsprojekt i SRP-bogen. Her guider vi dig i alt fra emnevalg og faglige metoder til opbygning af opgaven.
Få den bedste hjælp til SRP med SRP-bogen.

Indhold

Abstract 2
Indledning 4
Koblede svingninger - Et kompliceret problem 5
Opstilling af det lineære differentialligningssystem 5
Dekobling af differentialligninger - En metode at løse problemet 7
Egenværdiproblemet samt egenvektorer 7
Diagonalisering af en matrix 8
Bevis for diagonalisering af en matrix (7) 8
Et simpelt system af koblede differentialligninger 9
Løsning til differentialligningen 10
Linearkombinationer af løsninger til differentialligningen 10
Bevis for at linearkombination er løsning til differentialligningen 11
Wronski og determinantteori 11
Bevis for at Wronski-determinanten er konstant for to løsningsfunktioner 12
Bevis for at konstanterne k_1 og k_2 er konstanter og ikke afhængige af x 12
Løsningsfunktion til differentialligningen y''=c·y 14
Bevis for løsningen af differentialligningen y''=c·y,c<0 14
Løsningen til forsøget differentialligningssytem 15
Normalsvingninger 19
Nogle særlige startbetingelser 20
Forsøg med to vogne på en luftpudebane 21
Analyse af forsøget 21
Forskelle mellem regressionerne og de beregnede konstanter 22
Diskussion 24
Sammenligning mellem målepunkter og løsningsfunktionerne 24
Den effektive masse 25
De omformede løsningsfunktioner 28
Større masse af vognene 28
Konklusion 29
Litteraturliste 31
Bøger 31
Hæfter 31
Internetsider 31
Bilag 32
Bilag 1: Cramers formel 32
Bilag 2: Egenvektoren til koefficientmatricen for differentialligningssystemet 32
Bilag 3: Forsøg 33
Bestemmelse af fjederkonstant 33
Svingende system med to vogne og tre fjedrer 35
Forsøg med ekstra tunge vogne 38

Uddrag

Indledning
Differentialligninger omgiver os i hverdagen. Lige fra daglige pligter i bryggerset til en afslappende ferie i et højhus. Her kan bevægelser, alt fra en vaskemaskines hoppende bevægelser på gulvet til en højhus, der svajer frem og tilbage i vinden, beskrives ved hjælp af andenordens differentialligninger. For at kunne opstille disse ligninger er en helt afgørende sætning sammenhængen mellem position, x(t), hastighed, v(t), og acceleration, a(t), hvilket også er helt central i denne opgavebesvarelse:

x^'' (t)=v^' (t)=a(t)

Da andenordens differentialligninger kan beskrive utroligt mange forskellige situationer, vil der i denne opgave blive fokuseret på de koblede differentialligninger, som også kendes fra virkelighedens verden. I Singapore bliver et system af fjedrer brugt til at forhindre, at det gigantiske pariserhjul Singapore Flyer knækker. Dette er blot et eksempel på en talrig stribe af steder, hvor et system af differentialligninger bruges i hverdagen. En anden central fysisk sætning, som er fundamentet for at kunne opstille differentialligningssystemet er Newtons Anden Lov:

F_res=m·a⇔F_res=m·x^''

Det er ud fra kraftanalyser af den enkelte masse, at differenttialligningerne opstår, da der så kommer en sammenhæng mellem position af de to masser og accelerationen af disse. De koblede differentialligninger er mere komplicerede en ikke-koblede, da de afledte ligninger er afhængig af flere funktioner. Der findes flere måder at løse disse systemer. I denne besvarelse vil en metode, hvor et system af differentialligninger dekobles, hvor det traditionelle koordinatsystem med to akser, x- og y-aksen, transformeres til et andet system, hvor det er lettere at løse differenttialligningerne. Når systemet har gennemgået hele omformningsprocessen vil det vise sig, at det er muligt at løse differenttialligningerne enkeltvis ved hjælp af løsningsfunktionen til differentialligningstypen:

y^''=c·y,c<0

Denne differentialligning vil blive løst, hvor beviset også indgår. Hele opgaven bygger på en matematisk gennemgang af nødvendig teori for at kunne foretage en dekobling, hvor blandt andet egenværdier og egenvektorer vil blive præsenteret, og det bliver klart, at disse kommer til at spille en central rolle for at løse et system af svingende vogne på en luftpudebane. Som afslutning vil den matematiske løsning blive sammenlignet med et eksperiment med to vogne og tre fjedrer.

...
Opstilling af det lineære differentialligningssystem
Når man betragter to masser, som er forbundet af en fjeder, vil man opdage, at massernes stedfunk-tioner vil være to koblede, lineære differentialligninger. Differentialligningerne opstilles ud fra en individuel kraftanalyse af hver masse, hvor den centrale sætning for opstillingen af differenttiallig-ningerne er Hookes Lov , som siger:
...
Dekobling af differentialligninger - En metode at løse problemet
Ved dekobling af et system af differentialligninger handler det om at danne nye basisvektorer, som skal bruges til at definere de variable, som udspænder et nyt koordinatsystem, hvor det vil være lettere at løse differentialligningerne. Efter dekoblingsprocessen kan man så omforme løsningsfunk-tionerne tilbage til det oprindelige koordinatsystem, hvilket gør, at løsningen passer til det oprinde-lige problem.
...
Diagonalisering af en matrix
Hvis man har en kvadratisk 2×2-matrix, A,som har to lineær uafhængige egenvektorer, (v_1 ) ⃗ og (v_2 ) ⃗, som er knyttet til to egenværdier, som ikke nødvendigvis er de forskellige, λ_1 og λ_2, kan A diagonaliseres ved hjælp af følgende formlen:
...
Et simpelt system af koblede differentialligninger
Ved dekobling af systemer fremkommer et system af ligninger, som er langt lettere at håndtere end det oprindelige system, da de dekoblede ligninger ikke længere afhænger af flere uafhængige vari-able. Ved dekobling er det ikke antallet af ligninger, som er vigtigt, men derimod koefficientmatri-cen, da den er fundamentet for den dekoblingsporces, som systemet gennemgår.
...
Bevis for at Wronski-determinanten er konstant for to løsningsfunktioner
For to funktioner vil Wronski-determinanten være en konstant, hvis de er løsning til differentialligningen. De to løsningsfunktioner betegnes med f_1 (x) og f_2 (x). For at vise, at Wronski-determinanten er en konstant for disse to funktioner, som antages være løsningsfunktioner til differentialligningen, differentieres Wronski-determinanten:
...
Normalsvingninger
Disse frekvenser fortæller også noget om bevægelsen af vognene under forudsætning af de rigtige startbetingelser. De to frekvenser har et tæt forhold til de normalsvingninger, som systemet kan udføre. Hvis man forestiller sig, at A_2=0, betyder det, at løsningsfunktionerne får følgende form:
...
Nogle særlige startbetingelser
Der er også muligt at opstille nogle andre begyndelsesbetingelser, som gør, at løsningsfunktionerne kan skrives på en mere overskuelig måde. Disse begyndelsesbetingelser bruges også ved udførelse af forsøget med to vogne og tre fjedrer på en luftpudebane. Det antages, at til tiden t=0, at følgende gælder..
...
Forskelle mellem regressionerne og de beregnede konstanter
Da det gennem de matematiske udledning er blevet vist, at det koblede differentialligningssystem, som beskriver positionerne af de to oscillerende vogne, kan beskrives ved hjælp af funktionerne (20) og (21). Ved et indledende forsøg blev fjederkonstanterne bestemt ved hjælp af Hookes Lov, hvilket gav følgende resultater:
...
Sammenligning mellem målepunkter og løsningsfunktionerne
Man kan sammenligne de målte datapunkter med de løsningsfunktioner, (20) og (21), som er fundet ud fra startbetingelserne og eksperimentelt bestemte værdier for massen af de to vogn og tre ens fjederkonstanten. Dette er gjort på figur 5. Her er det tydeligt at se, at der er en forskydning mellem punkterne og løsningsfunktionerne, på trods af den formen af løsningsfunktionen passer godt sam-men med målepunkter.
...
Den effektive masse
Da fjederkonstanten er bestem med lille usikkerhed, er det ikke den, som der skal ændres. Samtidig vides det jo fra svingningslære af et lod i en fjeder, at man skal lægge en tredjedel af fjederens mas-se til loddets masse. Hvis man betragter forsøgsopstillingen vil det give god mening, hvis en del af fjedermassen skulle medregnes, når resonansfrekvenserne bestemmes.
...
De omformede løsningsfunktioner
Man kunne så diskutere, om det var de omformede løsningsfunktionerne, som er skyld i, de ikke passer bedre sammen med de målte punkter. Hvis man prøver at tilpasse til de eksperimentelle data med (18) og (19), hvor positionsmålingerne kan ses i bilag3 ”Forsøg”, vil man få følgende tilpasse-de funktioner:
...
Større masse af vognene
Ved det forsøg, som er vist på figur 12 og 13, er massen af de enkelte vogne forøget ved hjælp af lodder, da det skal undersøge om det er massen af vognene eller massen af fjedrene, som er årsag til de observerede forskelligheder med det første forsøg og den matematiske løsningsmodel.
... Køb adgang for at læse mere

SRP om koblede harmoniske svingninger i Matematik A og Fysik A

[0]
Der er endnu ingen bedømmelser af dette materiale.