Keglesnit - STX A 2022 og 2023

Her kan du få hjælp til at arbejde med det forberedelsesmateriale til Matematik A på STX, som bruges i 2022 og 2023. Forberedelsesmaterialet handler om keglesnit.

Forberedelsesmaterialet skal bruges til eksamen i maj, august og december 2022 og 2023.

Først i kompendiet finder du en gennemgang af relevante definitioner, begreber, sætninger og eksempler om cirkler, ellipser og parabler.

Derefter finder du vores vejledende besvarelser til opgaverne i forberedelsesmateralet. Nogle af opgaverne til den skriftlige eksamen tager udgangspunkt i forberedelsesmaterialet. Disse opgaver ligner typisk opgaverne i forberedelsesmaterialet. Vi anbefaler derfor, at du forbereder dig på den skriftlige eksamen ved at arbejde grundigt med forberedelsesmaterialet.

Dette kompendium indeholder hints til, hvordan du kan løse opgaverne i forberedelsesmaterialet, samt vores vejledende besvarelser til opgaverne. Prøv først at løse opgaverne selv. Hvis du er i tvivl om, hvordan du kan komme i gang med en opgave, så kan du bruge vores hints. Når du har forsøgt at løse en opgave, så kan du sammenligne dit facit og din løsning med vores.

Sidst i kompendiet finder du vores opgaver, som vi har lavet, så de minder om de opgaver, der indgår i forberedelsesmaterialet. Du kan fx bruge de opgaver, som vi har lavet, hvis du gerne vil forberede dig på den skriftlige eksamen ved at løse flere opgaver end dem, der indgår i forberedelsesmaterialet.

Indhold

Her får du et uddrag fra opgave 1c på siden Opgave 1 - 6:

Vi omskriver cirklens ligning fra b):

(x - 1)² + (y - 3)² = 5²
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
y² - 6 · y + x² - 2 · x + 10 = 25

Vi trækker 25 fra på begge sider af lighedstegnet og bytter om på rækkefølgen af leddene. Derved får vi:

x² + y² - 2x - 6y - 15 = 0

Den generelle andengradsligning i to variable er på formen

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Vi aflæser, at i cirklens ligning...

Her får du et uddrag fra opgave 12a på siden Opgave 7 - 12:

Vi får oplyst, at en parabel med en ligning på formen y = a · x² har brændpunkt i F(0,2), og at ledelinjen l er givet ved ligningen y = -2.

Vi lader P(x,y) være et punkt på parablen. Projektionen af P på ledelinjen kalder vi Q. Da ledelinjen er givet ved ligningen y = -2, så har punkt Q koordinaterne Q(x,-2).

Da punktet P ligger på parablen, så er afstanden fra P til F den samme som afstanden fra P til Q:

|FP| = |QP|

Vi bruger afstandsformlen til at omskrive ligningen:

...