Bevis for sinusrelationerne

Sinusrelationerne

Sætning. Sinusrelationerne.

I en vilkårlig trekant ABC er

\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}

Dermed er

\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}

Du kan læse mere om sinusrelationerne og se eksempler, hvor vi bruger sinusrelationerne til at bestemme vinkler og sidelængder i en trekant, på siden Cosinus- og sinusrelationerne.

Bevis

Vi beviser først, at

\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}

Vi lader ABC være en vilkårlig trekant. Trekant ABC er enten spidsvinklet, stumpvinklet eller retvinklet. Vi beviser sætningen for hvert af de tre tilfælde.

Trekant ABC er spidsvinklet

Vi antager, at trekant ABC er spidsvinklet. Dermed ligger alle højderne inde i trekanten. 

Vi tegner højden hc fra vinkel C. Punktet D er skæringspunktet mellem højden hc og siden c.

Da hc står vinkelret på siden c, så opdeler hc trekanten i to retvinklede trekanter: ACD og BCD.

Vi betragter først trekant ACD. Da hc er den modstående katete til ∠A, og b er hypotenusen, så er

 \sin(A)=\frac{h_c}{b} ⇓     b \cdot \sin(A)=h_c

Vi be...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind