SSO: Beregninger af pi
- STX 3.g
- Matematik A
- Ingen givet
- 30
- 6412
SSO: Beregninger af pi
Der findes mange forskellige måder at tilnærme π på. De stammer helt tilbage fra oldtiden og til nu. Jeg har i denne opgave udvalgt nogle bestemte metoder med et vist sammenhæng og en vis spredning i tiden. Jeg vil give et detaljeret bevis for Archimedes metode og Wallis produktfremstilling, efterfølgende omtale Ramanujans tilnærmelse til π, som er væsentlig mere effektiv end de foregående, og benytte den velkendte grænseværdi.
til at tilnærme π, da denne passer sammen med Archimedes metode. De forskellige nævnte metoders konvergenshastighed vil blive vurderet ved hjælp at regneark lavet i Excel.
Jeg vil i slutningen komme ind på π's irrationalitet som først blev bevist af Lambert i 1761. Beviset er kompliceret så jeg har i stedet valgt Nivens bevis fra 1947.
Indhold
Archimedes Metode
John Wallis Produkt
Ramanujans Række
Irrationalitet af π
Uddrag
INDLEDNING
Tallet π er defineret som forholdet mellem cirklens omkreds og diameter. Man har ofte brøker som tilnærmelse til π. Den mest velkendte er som Archimedes har fundet frem til. Det har senere vist sig at π er irrational og altså ikke en brøk. Det har endda vist sig at π ikke engang er rod i et polynomium med hele tal som koefficienter. Det vil sige at π er et transcendent tal.
Der findes mange forskellige måder at tilnærme π på. De stammer helt tilbage fra oldtiden og til nu. Jeg har i denne opgave udvalgt nogle bestemte metoder med et vist sammenhæng og en vis spredning i tiden. Jeg vil give et detaljeret bevis for Archimedes metode og Wallis produktfremstilling, efterfølgende omtale Ramanujans tilnærmelse til π, som er væsentlig mere effektiv end de foregående, og benytte den velkendte grænseværdi:
sin(x)/x → 1 for x → 0
til at tilnærme π, da denne passer sammen med Archimedes metode. De forskellige nævnte metoders konvergenshastighed vil blive vurderet ved hjælp at regneark lavet i Excel.
Jeg vil i slutningen komme ind på π's irrationalitet som først blev bevist af Lambert i 1761. Beviset er kompliceret så jeg har i stedet valgt...
RAMANUJANS RÆKKE
Den indiske matematiker Ramanujan fandt i begyndelsen af 1900-tallet mange uendelige rækker som alle kan bruges til at tilnærme π. En af den ser således ud...
De 2 første brøker svarer til n=0 og n=1.
På bilag 4.0 har jeg brugt Ramanujans række til at tilnærme π. Kolonne A indeholder tallene 0,1,2,3… I kolonne B beregnes det n'te led i summen startende med det 0'te. Kolonne C lægges det n'te led til summen af de foregående. I kolonne D findes den reciprokke værdi af summen for at få en tilnærmelse til π.
Som det ses konvergerer Ramanujans række hurtigt. Allerede når n=8 (efter 9 led) er der udregnet 14 rigtige decimaler i π. De resterende decimaler giver 0 fordi Excel ikke kan regne med de mange decimaler som er nødvendigt. Læg mærke til at de sidste decimaler fra... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind