SSO om Tallet pi

  • STX 3.g
  • Matematik A
  • Ingen givet
  • 31
  • 4821
  • Word2003

SSO om Tallet pi

En tilnærmet værdi for π = 3,141592653589793.

Opgaveformulering
- Giv en beskrivelse af udvalgte dele af π´s historie.
- Gør dernæst detaljeret rede for Archimedes metode til bestemmelse af π.
- Gør rede for andre metoder til bestemmelse af π.
- Benyt nogle af metoderne til at udregne tilnærmede værdier for π.

Indhold

Opgaveformulering 2
Indholdsfortegnelse 3 1. Indledning 4
2. Tallet π´s historie 5
2.1 Definitionen af π 5
2.2 Hvad er π? 5
2.3 Ægypterne og π 6
2.4 π´s betydning i dag 7
3. Archimedes bevis for π 9
3.1 Konstruktionen af en indskrevet regulær n-kant . 9
3.2 Konstruktionen af en omskrevet regulær n-kant . 10
3.3 Archimedes ulighed 10
3.4 Archimedes værdier 17 4. Andre metoder til bestemmelse af π 19
4.1 Buffons metode 19
4.2 Eulers metode 20 4.3 Wallis produkt 21
5. Tilnærmede værdier for π 23
5.1 Buffons metode 23
5.2 Eulers metode 23
5.3 Den ægyptiske værdi 24
6. Konklusion 26
Litteraturfortegnelse . 27
Bilag 29
1. π´s værdier i tabel . 29
2. π´s værdier i diagram 29
3. π´s udvidelse indtil nyere tid i tabel. 30

Uddrag

1. ---------- Indledning---------
For omkring 4000 år siden fandt man den første værdi for π. Siden da har mange matematikere prøvet en mere korrekt værdi for π, for nogen er det gået godt og for andre mindre godt. Man kan eksempelvis nævne Archimedes, der med stor succes opfandt en ulighed for π, ved hjælp fra ind- og omskrevne regulære n-kanter, polygoner. Denne ulighed har ligget til baggrund for andre matematikeres formler for π. Derfor vil jeg i denne opgave gøre rede for Archimedes metode til bestemmelse af π. Men først vil jeg give en beskrivelse af π´s historie. Eftersom der er mange andre end Archimedes, der har fundet π, vil jeg gøre rede for nogle af deres metoder. Her kan eksempelvis nævnes Buffon og Euler. Jeg vil tage metoder, der ikke har samme baggrund for at vise, hvor mange forskellige metoder der er til at beregne en tilnærmet værdi for π. Nogle af deres metoder har givet gode tilnærmelser for π, så jeg vil udregne nogle af deres tilnærmelser.

2. ------------Tallet π´s historie------------
2.1 Definitionen af π (Billede)


En tilnærmet værdi for π = 3,141592653589793.
π er forholdet mellem en cirkles omkreds og dens diameter. At dette forhold er det samme ligegyldigt størrelsen af cirklen fremgår af, at omkredsen og diameteren er proportionale størrelser, dvs. de vokser med samme forhold. Man fandt først et symbol for π, lang tid efter den tilnærmede værdi for π blev opdaget. Første gang symbolet π blev brugt var i 1706 af William Jones, det vil sige, at der går ca. 3300 år fra man har opdaget π, til den får et symbol. π udtales pi, der stammer fra det første bogstav i det græske ord for omkreds, nemlig perimeter.
Man mener, at den første værdi der blev fundet for π var værdien 3. Den blev fundet ved at rette en cirkelomkreds ud. Man har målt omkredsen og sammenlignet den med diameteren og fundet ud af at den var tilnærmelsesvis 3 gange større. Denne værdi finder man også i biblen hvor den er beskrevet således:
” Fremdeles lavede han Havet i støbt Arbejde, ti Alen fra Rand til Rand, helt rundt, fem Alen højt; det maalte tredive Alen i Omkreds.”
Det skal forstås således, at radius er 10 alen og omkredsen er 30 alen. Så omkredsen er 3 gange større end radiusen... Køb adgang for at læse mere

SSO om Tallet pi

[26]
Bedømmelser
  • 14-12-2004
    God SSO. Der er rigtig mange gode oplysninger, specielt kilderne. Leder man efter noget bestemt kan man kigge i bilagene, der er nemlig osse angivet kilder til! Rigtig fornuftigt
  • 17-11-2009
    Opgaven indeholder nogle gode fakta, men der er ikke givet en fodnote, hvor de er hentet fra ...
  • 29-04-2013
    Givet af 2.g'er på STX
    jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
  • 19-04-2010
    Flot opgave, kun ikke selv have skrevet sådan en opgave. tak!