Her får du et uddrag af et bevis fra kompendiet Integralregning:
Arealet af et område mellem førsteaksen og grafen for en negativ funktion
Sætning. Areal af område, når grafen ikke er over førsteaksen.
Hvis funktionen g er kontinuert i intervallet [a;b], og g(x) ≤ 0 for alle x ∈ [a;b], så afgrænser grafen for g, førsteaksen og linjerne givet ved x = a og x = b et område M. Arealet af M er givet ved
Du kan se et eksempel, hvor vi bruger ovenstående sætning til at bestemme et areal, på siden Areal af område under graf.
Bevis
Vi lader g være en funktion, der er kontinuert i intervallet [a;b], og som opfylder, at
g(x) ≤ 0 for alle x ∈ [a;b]
Grafen for g, førsteaksen og linjerne givet ved x = a og x = b afgrænser et område M.
Vi lader f være en konstant funktion:
f(x) = 0, x ∈
Da f er kontinuert i intervallet [a;b], så har f en stamfunktion i intervallet [a;b].
Grafen for f er en ret linje, der ligger på førsteaksen. Området M afgrænset af grafen for g og førsteaksen i intervallet [a;b] er derfor det samme, som området afgrænset af grafen for g og grafen for f i intervallet [a;b]. Arealet af M er derfor givet ved
...
Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.
Få adgang til hele Webbogen.
Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.