Logistisk vækst

Den logistiske ligning

Nedenstående differentialligning kaldes den logistiske ligning:

y' = k · y · (M - y),   k, M > 0

Du kan se et eksempel på en logistisk ligning herunder:

y' = 0,06 · y · (347 - y)

I eksemplet er = 0,06 og = 347.

Løsninger til den logistiske ligning

Sætning. Løsninger til differentialligningen y' = k · y · (- y).

Funktionerne = 0 og

y = \frac{M}{1+c\cdot e^{-kMx}}, \ \ c \ge 0, \ x \in \mathbb{R}

er løsninger til den logistiske ligning

0">

Du kan finde vores bevis for sætningen på siden Bevis for løsningen til y' = k · y · (M - y).

Den logistiske ligning kan blandt andet bruges i modeller, der beskriver udviklingen i antallet af individer i en population. I den sammenhæng er det typisk kun interessant at se på de løsninger, der er konstante eller voksende, hvilket er funktionerne y = 0 og

y = \frac{M}{1+c \cdot e^{-kMx}}, \ \ c \ge 0, \ x \in \mathbb{R}

Vi vælger derfor kun at se på disse løsninger. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er = 0 og

y = \frac{M}{1+c \cdot e^{-kMx}}, \ \ c \in \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R}

Eksempel: Bestem løsninger til y' = 0,01 · y · (50 - y)

En differentialligning er givet ved

y' = 0,01 · y · (50 - y)

Vi vil bestemme de løsninger til diff...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind