SRP om Ikke-Euklidisk Geometri i Matematik og Historie

Uddrag

"INDLEDNING:
I over 2000 år blev værket ”Elementer” af matematikeren Euklid (ca. 325-265 f.v.t.) anset som den fornemmeste matematiske lærebog.

Euklid var en græsk matematiker, og hans værk ”Elementer” var en opsamling af al den matematik som grækerne besad i år 300 f.v.t. Grækerne kendte kun til én slags geometri, der i dag kaldes den Euklidiske geometri.

Denne geometri bygger på 23 definitioner, 5 almindelige begreber og 5 postulater. Euklid definerede postulater og almindelige begreber som selvindlysende sande sætninger, det man i dag kalder aksiomer. Eksempler på Euklids definitioner er fx: ”at et punkt er det, som ikke kan deles” samt at ”parallelle er de rette linjer, som ligger i sammen plan og, når de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne”. Euklids første begreb er: at størrelser, som er lige store med den samme, er indbyrdes lige store.

Det er i midlertidig ikke definitioner og almindelige begreber der er interessante i forhold til opgavens fokus. Derimod er postulaterne relevante i arbejdet med ikke-euklidisk geometri. De 5 postulater Euklid opstillede formulerede han således:
Lad det være forudsat:
1. At man kan trække en ret Linie fra et hvilketsomhelst Punkt til et hvilketsomhelst Punkt.
2. At man kan forlænge en begrænset ret Linie i ret Linje ud i eet
3. At man kan tegne en Cirkel med et hvilketsomhelst Centrum og en hvilkensomhelst Radius
4. At alle rette Vinkler ere ligestore
5. At, naar en ret Linie skærer to rette Linier, og de indvendige Vinkler paa samme Side ere mindre end to rette, saa mødes de to Linier, naar de forlænges ubegrænset, paa den Side, hvor de to Vinkler ligge, der ere mindre end to rette
Allerede i år 300 f.v.t skabte postulat 5 (parallelpostulatet) opmærksomhed blandt matematikere. Op gennem tiden prøvede adskillige matematikere at bevise, at postulat 5 var unødvendigt og kunne udledes af de fire første postulater. Til trods for de mange forsøg, blev ingen af beviserne af forskellige årsager generelt accepteret.

Omkring år 1820 kom tre matematikere, C. F. Gauss, N. I. Lobachevsky og J. Bolyai, uafhængigt af hinanden til konklusionen, at parallelpostulatet ikke kan bevises. Tillige fandt alle tre uafhængigt af hinanden en geometri, der opfylder Euklids fire første postulater, men ikke postulat 5.

Denne geometri blev kendt som ikke-euklidisk geometri, og omfatter hhv. elliptiske og hyperbolske planer, hvor vinkelsummen i en trekant er hhv. større end og mindre end 180 grader. Elliptiske planer kaldes også sfæriske planer, og illustreres ved fx overfladen på en globus.

Fokus for denne opgave er at skitsere forhistorien for ikke-euklidisk geometri, da denne historiske vinkel vil hjælpe til forståelsen af ikke-euklidisk geometris opståen og betydning. Der vil også kort omtales forskellige ækvivalente formuleringer af parallelpostulatet.

Specielt tre matematikere er interessante med henblik på ikke-euklidiske geometri, og derfor vil der kort redegøres for disse tre.

Ydermere vil der arbejdes med Poincarés cirkelskive model for den hyperbolske plan og dens egenskaber. Der redegøres for, at de fire første postulater er gældende i planen. Der indføres et afstandsbegreb og et beregningsvenligt udtryk i planen.

Det illustreres, at det femte postulat ikke er gældende i den hyperbolske plan, og derved bryder denne plan med euklidisk geometri. Til sidst vurderes indflydelsen af den ikke-euklidiske geometris opdagelse på opfattelsen af det fysiske rum. Samtidig vil det vises, at opdagelsen af ikke-euklidisk geometri revolutionerede opfattelsen af det fysiske rum, og principielt gjorde geometrien uafhængig af den fysiske virkelighed."... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind