Bevis for cosinusrelationerne

Indhold

Cosinusrelationerne

Sætning. Cosinusrelationerne.

I en vilkårlig trekant ABC er

a² = b² + c² - 2 · b · c · cos⁡(A)

b² = a² + c² - 2 · a · c · cos⁡(B)

c² = a² + b² - 2 · a · b · cos⁡(C)

Vi lader trekant ABC være en vilkårlig trekant.

Trekanten er enten spidsvinklet, stumpvinklet eller retvinklet. Vi beviser cosinusrelationerne for hvert af de tre tilfælde.

Hvis trekant ABC er spidsvinklet, så falder alle højderne inde i trekanten.

Vi tegner højden h fra C:

Vi lader punkt D være skæringspunktet mellem højden h og siden c.

Da højden h fra vinkel C står vinkelret på siden c, så er trekant ACD og trekant BCD vinkelrette.

Ifølge Pythagoras' sætning er

(c-x)^2 + h^2 = a^2

Vi omskriver ligningen ved at benytte en kvadratsætning:

For at kunne omskrive ligningen yderligere, så skal vi erstatte x og h med nogle udtryk, hvor hverken x eller h indgår.

Vi benytter, at trekant ACD også er retvinklet, dvs. at

x^2 + h^2 = b^2

Dermed kan vi omskrive ligningen a2 = c2 + x2 - 2cx + h2 yderligere:

Vi mangler nu kun at udtrykke x ved b o...