Bevis for andengradsligning (diskriminantformlen)

Diskriminantformlen

Sætning. Diskriminantformlen.

Andengradsligningen ax2 + bx + c = 0 med diskriminanten d = b2 - 4ac har ingen, én eller to løsninger:

  • Hvis d < 0, så har ligningen ingen løsning.
  • Hvis d = 0, så har ligningen én løsning:

x = \frac{-b}{2a}

  • Hvis d > 0, så har ligningen to løsninger:

\begin{align*} x_1 &= \frac{-b - \sqrt{d}}{2a} \\[1.5em] x_2 &= \frac{-b + \sqrt{d}}{2a} \end{align}

Du kan se en række eksempler, hvor vi bruger diskriminantformlen, på siden Diskriminantformlen.

Bevis

Få forklaringer til udregningerne ved at holde musen over pilene.

En andengradsligning er på formen

ax2 + bx + c = 0,   a ≠ 0

Vi beviser diskriminantformlen ved at omskrive andengradsligningen:

 ax2 + bx + c=0
 ⇕    
 4a · (ax2 + bx + c)=4a · 0
 ⇕    
 4a2x2 + 4abx + 4ac=0
 ⇕    
 (2ax)2 + 4abx + 4ac=0
 ⇕    
 (2ax)2 + 4abx=-4ac
 ⇕    
 (2ax)2 + 2 · 2ax · b=-4ac

Vi bemærker, at hvis vi lægger b2 til, så kan vi omskrive udtrykket på v...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind